[问题2014S02] 解答

[问题2014S02] 解答  首先注意到: 两个实系数多项式 \(f(x),g(x)\) 互素当且仅当 \(f(x),g(x)\) 在复数域 \(\mathbb{C}\) 上没有共公根, 当且仅当结式 \(R(f(x),g(x))\neq 0\).

我们先证明: 当 \(t\) 充分大时, \(f(x)\) 与 \(g_t(x)\) 互素. 事实上, \(f(x)\) 在复数域 \(\mathbb{C}\) 上只有 \(n\) 个根, 只要取充分大的 \(t\), 就能保证这 \(n\) 个根不是 \(g_t(x)\) 的根.

考虑结式 \(R(f(x),g_t(x))\), 由定义知它是关于未定元 \(t\) 的实系数多项式, 记为 \(h(t)\). 由前面的论证知, 当 \(t\) 充分大时, \(h(t)\neq 0\), 这说明 \(h(t)\) 是一个非零的实系数多项式. 由多项式的理论知, \(h(t)\) 在实数域 \(\mathbb{R}\) 上只有有限个根. 记 \(h(t)\) 的所有非零实根绝对值的最小值为 \(\delta\), 则当 \(0<|t|<\delta\) 时, \[R(f(x),g_t(x))=h(t)\neq 0,\] 从而 \(f(x)\) 与 \(g_t(x)\) 互素.  \(\Box\)