ABC 384(A~F）

期末周的第二把网瘾，vp了一把abc。这把打得还是比较舒服的，做出了A~E。但最后两道题还是出得太慢了（一道思路太慢，一道调试太慢）。什么时候能够在赛时做出F题呢qwq...

ABC

这场abc的ABC题还是很白给的，就不再赘述了。

D

前缀后缀和 + 二分

题意是给定一个循环数组和定值\(sum\)，问是否存在一个子数组，使得总和恰为\(sum\)

这个子数组的形式只有两种情况：

1. 原数组的某个子区间
2. 原数组某个后缀 + 若干个整个数组 + 原数组某个前缀 拼接而成

对于情况1，采用枚举右端点，二分左端点的传统套路

对于情况2，设后缀和为\(suf\)，前缀和为\(pre\) , 则有：

pre + k * S + suf == sum

其中\(S\)为整个数组的所有元素和

暴力枚举\(pre\)和\(suf\)的复杂度是\(O(n^2)\)的，考虑优化：

枚举\(suf\),由于\(pre\) \(<=\) \(S\) , 因此可以将这个式子中的\(pre\)看做余数，\(k\)看做商。则一定有 ： \((sum - suf)\) % \(S\) == \(pre\) 。这样问题就转化为找一个和为\((sum - suf)\) % \(S\)的前缀。直接二分找即可，类似情况1。

两种情况的复杂度均为\(O(nlogn)\)

刚开始时看这道题就有了这个思路，但到比赛快结束时才AC。还是太菜了。。。

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E

优先队列版bfs

思路一点都不难想，就是每次扩展时选择可以扩展的所有位置中最小的那个数就行。

因为每一次对于当前可以选择的所有数，选择了某个数时，只会扩大选择范围，而原来可以选择的那些数都仍然可以被选。而越小的数越可以选择。顺着这样的思路，很容易想到每次贪心取最小就是正解。

实现也很简单，直接队列改为小根堆再\(bfs\)就行了。

不过赛时此题WA了三发。debug了半天最后才发现是地图中的数据也会爆\(long long\),而地图的数据类型一直都是\(int\)(悲。。

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F

数学题。赛后看完官方题解后思路逐渐清晰，最后自己补出来了。

题意就是给一个数组，求出数组中每一对 \((A_i , A_j)\) 之和并除去其中所有的因子2 的总和，注意\((A_i , A_i)\)也算一对数

由于最大值\(A_i + A_j\) \(<=\) \(2 * 10^7\) , 故除以\(2^k\)的\(k\)很小，不会超过\(26\).因此考虑找到 对于一个特定的\(k\) , 恰好含有\(k\)个因子\(2\)的所有\(A_i + A_j\) , 并设它们的总和为\(res[k]\)。

则：

 ans = Σ (res[k] / 2^k) , k = 0,1,2 …… 25

\(res[k]\)可以利用前缀和的思想来计算：

设\(sum[k]\)：所有能被\(2^k\)整除的\(A_i + A_j\)的总和

则恰好含有k个因子2 的\(A_i + A_j\)的总和\(res[k]\)为 ：

 res[k] = sum[k] - sum[k + 1]

现在考虑计算所有的\(sum[k]\):

暴力即直接\(O(n^2)\)找每一对数的和，并判断是否为\(2^k\)的倍数即可。优化可以利用余数的性质来优化：

• 对于任意两个数\(x,y\)，它们除以\(2^k\)的余数为\(r_x,r_y\)。若二者的和是\(2^k\)的倍数，则一定是以下两种情况之一:
  1. \(r_x,r_y\)均为0
  2. \(r_x + r_y = 2^k\)

因此可以考虑\(O(n)\)遍历数组，用\(map\)记录所有数除以\(2^k\)后得到的余数\(r\)的 个数 和 对应原数的总和 。

对于某个余数\(r\)，它可以和余数为\(2^k - r\)的信息配对（相加后一定是\(2^k\)的倍数）。直接数学计算出它们产生的贡献即可，最后把所有贡献累加起来。

注意当余数为\(0\)或\(2^{k-1}\)时需要特判，因为要找的对应余数的信息就是本身。

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G

G看官方题解是个分块，不太会qwq...那就补到这里吧。