Solution Set - “带我去看极光与大海吧”

0.「AGC 062C」Mex of Subset Sum
1.「THUPC 2021 初赛」「洛谷 P7136」方格游戏
2.「THUPC 2023 初赛」「洛谷 P9139」喵了个喵 II
3.「THUPC 2021 初赛」「洛谷 P7144」狗蛋和二五仔
4.「山东省集 2017」「LOJ #6141」Fantasy
5.「CEOI 2021」「洛谷 P8175」Tortoise
6. 「NOI Simu.」dl
7.「PA 2019」「洛谷 P5984」Podatki drogowe
8.「2021 集训队互测」「LOJ #3661」蜘蛛爬树
9.「NOI Simu.」划分
10.「ARC 161A」Make M
11.「ARC 161B」Exactly Three Bits
12.「ARC 161C」Dyed by Majority (Odd Tree)
13.「ARC 161D」Everywhere is Sparser than Whole (Construction)
14.「ARC 161E」Not Dyed by Majority (Cubic Graph)
15.「洛谷 P7730」蜀道难

\[\mathbb{Defining~\LaTeX~macros\dots}
\newcommand{\chkmin}[0]{\overset{\min}{\gets}}
\]

0.「AGC 062C」Mex of Subset Sum

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考虑增量地寻找集合. 将 \(a\) 排序, 令 \(s\) 为其前缀和. 设 \(X_i\) 表示 \(\{a_{1..i}\}\) 不能表示出的 \(\le s_i\) 的数构成的集合. 讨论 \(a_i\) 加入时:

若 \(s_{i-1}<a_i\), 则 \(X_{i-1}\) 的所有元素都是答案, 若答案足够则终止; 否则, 新增的元素有 \(x\in(s_{i-1},a_i)\) 以及 \(x-a_i\in X_{i-1}\).

否则 \(s_{i-1}\ge a_i\), 则 \(X_{i-1}\) 的所有小于 \(s_{i-1}\) 的元素都是答案, 若答案足够则终止; 否则, \(X_i\) 在 \(X_{i-1}\) 的基础上可以类似地调整.

通过两个终止条件, 我们可以保持 \(|X_i|\le ki\), 这样复杂度就是 \(\mathcal O(n^2k)\), 顶多带个 \(\log\) 的了.

1.「THUPC 2021 初赛」「洛谷 P7136」方格游戏

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好困… 才把另依托答辩卡常卡完…

不太有意思的题, 题读对了就没啥问题了. 无障碍矩阵内两两最短路, 矩阵内到矩阵外两两最短路, 绕着矩阵边缘绕的远路都可以分横纵坐标讨论, 手撕两个求和 \(\mathcal O(1)\) 算出来. 障碍到障碍间的容斥也可以分坐标讨论, 排序后 \(\mathcal O(p)\) 算贡献. 最终 \(\mathcal O(p\log p)\) 结束.

2.「THUPC 2023 初赛」「洛谷 P9139」喵了个喵 II

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「A.图论-2_SAT」「B.优化建图」

自然地考察 \(2n\) 的情况, 可以发现有解当且仅当同色对构成的 \(n\) 个区间两两不存在包含关系. 扩展到 \(4n\), 则出现位置依次为 \([p_1,p_2,p_3,p_4]\) 的颜色仅有 \((p_1,p_3),(p_2,p_4)\) 和 \((p_1,p_2),(p_3,p_4)\) 两种子颜色划分方案. 对这个建 2-SAT, 推导关系是二偏偏序, 离线后主席树优化建图即可.

3.「THUPC 2021 初赛」「洛谷 P7144」狗蛋和二五仔

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「A.模拟」「C.细节」

搜! 就嗯搜! 所有中间状态全部记忆化!

struct State {

    char ahp, ac1, ac2, ahd; // A's hp, cards with hp=2, hp=3, cards in hand.

    char hv1, hv2; // A's attacked cards.

    char bhp, bc1, bc2, bhd; // B's hp, cards with hp=2, hp=3, cards in hand.

    char prc, rst; // Proceeding /Dapai/, steps available.

};

(抽象派英语喵.) 就搜它就好.

WA 点:

请朗诵三遍输入格式, 我没有开玩笑.
注意 "攻击" 不计入操作轮数限制.
注意能否实现 "仅攻击一次, 就交换先后手" 这个行为.
不建议尝试细节上的贪心, 可能成为小丑.

TLE 点:

(本题中) 常数: __gnu_pbds::gp_has_table 小于 std::unordered_map 小于 std::map.
就别用十万维数组了, 用上面的东西吧.
尽量在哈希表里装 int, 状态在进制 hash 后可能刚好超 int, 拆出来几维开哈希表数组即可. 这个时空优化效果都很明显.
如果先手全部攻击后手玩家可以击杀对方, 则直接判定, 这个剪枝没问题.

4.「山东省集 2017」「LOJ #6141」Fantasy

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「A.图论-最短路相关」

不完全是正解, 不过也挺有意思. 令 \(f(s,t)\) 表示把字符串 \(s\) 转换到 \(t\) 的最小步数. 当 \(s\neq t\) 时, 考察最小的满足 \(s_x\neq t_x\) 的 \(x\), 我们必然会在某次替换中让 \(s_x=t_x\), 枚举最后一次影响到 \(s_x\) 的修改对 \((u,v)\), 设 \(s^u\) 表示将 \(s\) 的后缀替换为 \(u\) 得到的字符串, 可见这里需要满足 \(s^v[:x]=t[:x]\), 因此有

\[f(s,t)=\min_{(u,v)}\{f(s,s^u)+f(s^v[x+1:],t[x+1:])+1\}.
\]

有环, 不过如果按照 \(|s|\) 分层, 层间是无环的, 层内转移可以写作 \(f(s,t)\chkmin f(s,s^u)+f(\cdot,\cdot)+1\). 后边的贡献是常数, 分层跑最短路就好. 复杂度怪怪, \((s,t)\to(s,s^u)\) 这个变换不太容易分析复杂度.

正解也差不多, 首先在 \(s_1=t_1\) 时有 \(f(s,t)\chkmin f(s[2:],t[2:])\), 此外, 如果我们需要用一对 \((u,v)\) 来修 \(s_1\), 就有 \(f(s,t)\chkmin f(s,v)+f(v,t)\), 边界有 \(f(u,v)=1\). 这个本身就是最短路形式, 不需要像我的做法建抽象的图了. 跑满是 \(\mathcal O(Tn^3|s|)\), 好吓人.

5.「CEOI 2021」「洛谷 P8175」Tortoise

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「B.贪心」

设 \(d_i\) 表示从 \(i\) 出发到最近的游乐园的最短距离. 我们对 \([l,r]\) 这一段极长的不含游乐园的连续段考虑, 不妨取出 \(a_p>0\) 中 \(d_p\) 最大的 \(p\). 若兔子仅在其中卖糖果, 可以感知到贪心策略:

在 \([l,p)\) 里买糖果, 在 \(l-1\) 与购买点间横跳.
从 \(p\) 带一颗糖到 \(r+1\).
在 \([p,r]\) 里买糖果, 在 \(r+1\) 与购买点间横跳.

注意若某侧实际上没有游乐园, \(p\) 的选取会让对应侧区间为空, \(d_p\) 的值可以帮助我们正确计算答案.

显然, 兔子不会从右侧连续段回到左侧连续段, 我们只需要依次处理这些连续段. 每次尝试取走商店里的所有糖, 再用 heap 退掉已选的代价最高的糖来让时间合法即可. 复杂度 \(\mathcal O(n\log n)\).

6. 「NOI Simu.」dl

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「C.性质/结论」

悄悄告诉你, 一共只有 \(\mathcal O((n+q)\sqrt n)\) 次烧树事件! 考虑所有未燃烧的连续段, 对于长度 \(<\sqrt n\) 的, 只会在 \(\mathcal O(\sqrt n)\) 的时间内产生同级的烧树事件, 对于长度 \(>\sqrt n\) 的, 任意时刻不会存在超过 \(\mathcal O(\sqrt n)\), \(q\) 次放火分析类似.

因此, 只需要动态维护未燃烧连续段 (一种偷懒的写法是 std::set, 区间端点类型用 mutable 修饰), 用支持 \(\mathcal O(1)\) 禁用 / 恢复, \(\mathcal O(\sqrt n)\) 查修区间的分块结构维护序列即可. 复杂度 \(\mathcal O((n+q)\sqrt n)\).

7.「PA 2019」「洛谷 P5984」Podatki drogowe

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「A.分治-二分答案」「A.树论-点分治/点分树」「A.数据结构-可持久化线段树」「B.Hash」「C.Tricks」

把上面的 tags 连词成句: 用主席树维护权值, 通过 hash 实现 \(\mathcal O(\log n)\) 比较两个路径权值和的大小, 这是广为人知的 trick, 此后只需要二分答案, 就差不多做完啦?

先来看看如何求一个二分的权值和在所有路径中的排名. 我们可以先点分预处理出每个分治中心向外走的权值, 然后枚举分治中心, 双指针求满足 \(a+b\le x\) 的两个路径权值和 \(a,b\) 的位置, 这样就能求排名了.

但是, 还有一个问题是, 我们该怎么二分呢? 自然不可能在 \(n^n\) 的值域空间上二分, 似乎也没有办法求出哪条路径是 "中点". 这里是一个比较新的 trick: 设答案区间是 \((L,R)\), 我们只需要实现 "在答案区间中均匀随机取出一个 (真实存在的) 路径和" 这个功能, 就能完成分治过程, 复杂度正确. 对于本题, 同上面双指针类似, 用三个指针扫描每个分治中心的序列即可. 这里没有必要排除来自同一个分治子树的路径相加, 它们不会影响路径的数量级.

最终复杂度 \(\mathcal O(n\log^3n)\), 不能实现得太坏.

8.「2021 集训队互测」「LOJ #3661」蜘蛛爬树

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「A.树论-树链剖分」「A.数据结构-线段树」

显然存在一种从 \(s\) 走到 \(x\), 走若干次 \(a_x\), 然后从 \(x\) 走到 \(t\) 的路径. 对于 \(s\to t\), LCA 为 \(p\) 的路径, 讨论 \(x\) 的位置:

第一种情况, \(x\) 在 \(p\) 子树内, 如图.

此时路径长度为 \((d_s+d_t-2d_p)+2(d_x-d_y)+ka_x\).

第二种情况, \(x\) 在 \(p\) 子树外, 如图.

此时路径长度为 \((d_s+d_t)-4d_y+2d_x+ka_x\).

这些询问操作和 \(s,t\) 实际上没什么关系, 我们只关心 \(x,y\) 和 \(k\) 的取值. 以第一种情况为例, 我们将 \(s\) 到 \(p\) 的询问挂在若干个重链区间上, 然后对每条重链, 暴力求出以其中的结点为 \(y\), 该结点自身或轻子树为 \(x\) 时的所有一次函数贡献, 线段树维护区间凸包, 单调地进行询问即可. 对于不加限制的 "\(x\) 在 \(u\) 子树内" 的询问, 则可以通过一开始维护全局 DFN 上的区间凸包整体求解. 复杂度 \(\mathcal O((n+q)\log^2n)\).

9.「NOI Simu.」划分

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你说得对, 但是用十级算法送分是坏文明.

设 \(i\in S\) 的方案数关于此前选择过 \(j\in T\) 的数量的 GF 为 \(A(z)\), \(B(z)\) 同理. 则新加入的一对 \((a_i,b_i)\) 是对 \(\begin{bmatrix}A(z)&B(z)\end{bmatrix}^T\) 的线性变换, 直接分治 FFT 即可, \(\mathcal O(n\log^2n)\).

10.「ARC 161A」Make M

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排序, 按照 \(1,3,\dots,n,2,4,\dots,n-1\) 放到答案里.

11.「ARC 161B」Exactly Three Bits

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不断令 \(n\gets n-1\) 直到 \(n\) 含有至少三个 bit, 取前三个即可. 迭代次数是 \(\mathcal O(1)\) 的.

12.「ARC 161C」Dyed by Majority (Odd Tree)

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尝试取一个根, 依子树归纳构造答案. 对于结点 \(u\), 若 \(u\) 的已染色儿子已经让 \(u\) 的众数无力回天, 则无解, 否则若把所有未染色儿子染成 \(u\) 需要的儿子仍然平分秋色 (这也适用于有根叶子的情况), 则对 \(u\) 的父亲染色. 这样的构造在保证子树内的解被找到的情况下, 对子树外的颜色提出了尽可能少的要求, 可以感知其正确性. \(\mathcal O(n)\).

13.「ARC 161D」Everywhere is Sparser than Whole (Construction)

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若 \(n-1<2d\) 则显然无解, 否则令结点编号为 \(0\sim n-1\), 排列成一个环. 令 \(u\) 连向 \((u+k)\bmod n~(k\in[0,d))\). 此时, 每个点的度数都为 \(2d\). 对于大小为 \(s\) 的点集, 其内部结点度数和不超过 \(2ds\), 而当 \(s<n\), 必然存在一条连向集合外的边, 因此诱导子图中所有结点度数和严格小于 \(2ds\), 则其密度严格小于 \(d\). 完成构造.

是的, 兔告诉你了答案, 简单的二重循环, 轻松的证明. 赛时观榜, 这题通过量一直高于 C. 但是为什么这题卡了兔这么久呢?

还是有必要回忆一下自己的思路链.

这题过那么多? 编个简单点的算法?

每次选出度数最小的两个未被连边的点连边?

不太良定, 而且不太好写, 弃.

导致非法的图是完全图? 最大的合法团是 \(K_{2d}\), 比这这个构造?

尽量多连边, 先划分出若干个 \(K_{2d}\), 团之间的话, 有一些麻烦的度数限制, 例如说不能有一个团外的点连接了团内超过 \(d\) 个点.

写了一车错解, 换个该死的思路?

等等, 我们可以用度数描述边数, 这玩意儿看上去自由度小一点?

总度数得是 \(2dn\). 我草, 让每个点的度数都是 \(2d\) 好像就一定合法了.

兔得出的结论是: 在那 (指写代码) 之前, 要多想.

14.「ARC 161E」Not Dyed by Majority (Cubic Graph)

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「A.随机化」「A.图论-2_SAT」

连词成句: 随机生成答案, 2-SAT 检查合法性, 结束了.

官方题解看上去是证明远难于其余部分? 溜了溜了, 抱歉 w.

15.「洛谷 P7730」蜀道难

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事情是这样的: 今天有道作业题叫 "蜀道难", 兔点开搜出来的第一道切掉之后才发现其实布置的是那道互测题.

就, 考虑差分, 每次操作的影响都是一个数 \(-1\) 一个数 \(+1\), 对建费用流补足所有负的差分位置即可. 复杂度 \(\mathcal O(\text{Dinic}(n,nm))\).