【2020.11.25提高组模拟】树的解构(deconstruct) 题解

题目描述

给一棵以$1$为根的外向树，进行$(n-1)$次删边操作，每次都会从没有删掉的边中等概率地删掉一条边$a\to b$，代价是$b$的子树大小。删去这条边后$b$为根的子树会形成一棵新的以$b$为根的有根外向树。求进行$n-1$次操作后期望的代价总和是多少，对$10^9+7$取模。

$n\le2\times10^6$。

Solution

题解中有两个解决方案，我暂且只看懂了$\texttt{Alternative Solution}$，就先记录这种吧。

对每个点x考虑计算贡献。当$x$会对除了$x$自身外的$x$的祖先$y$产生贡献$1$的情况当且仅当$y\to x$方向上的$path_{y\to son_y}$在$path_{x\to y}$内所有边中第一个删去，而这种情况的概率为$\frac1{dis_{x\to y}}$。每个$x$都有$dep_x-1$个这样的祖先$y$，$dis_{x\to y}\in [1,dep_x]\cup\mathbb{Z}$，所以点$x$的贡献就是

\[\sum_{i=1}^{dep_x}\frac1i
\]

所以

\[ans=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^{dep_i}\frac1j
\]

线性(或加个$\log$也行)预处理出$\frac1j$的前缀，然后$O(n)$算$dep$即可。

注意别用$dfs$，会爆栈$RE$。

Code

直接放线性求逆元好了。

#include<iostream>

#include<algorithm>

#include<cstdio>

#include<cstring>

#include<cmath>

#include<map>

#include<set>

#include<queue>

#include<vector>

#define IL inline

#define re register

#define LL long long

#define ULL unsigned long long

#ifdef TH

#define debug printf("Now is %d\n",__LINE__);

#else

#define debug

#endif

using namespace std;

template<class T>inline void read(T&x)

{

    char ch=getchar();

    int fu;

    while(!isdigit(ch)&&ch!='-') ch=getchar();

    if(ch=='-') fu=-1,ch=getchar();

    x=ch-'0';ch=getchar();

    while(isdigit(ch)){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}

    x*=fu;

}

inline LL read()

{

	LL x=0,fu=1;

    char ch=getchar();

    while(!isdigit(ch)&&ch!='-') ch=getchar();

    if(ch=='-') fu=-1,ch=getchar();

    x=ch-'0';ch=getchar();

    while(isdigit(ch)){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}

    return x*fu;

}

int G[55];

template<class T>inline void write(T x)

{

    int g=0;

    if(x<0) x=-x,putchar('-');

    do{G[++g]=x%10;x/=10;}while(x);

    for(int i=g;i>=1;--i)putchar('0'+G[i]);putchar('\n');

}

int n;

int head[2000010],ver[2000010],nxt[2000010];

int cnt;

int depth[2000010],fa[2000010];

void insert(int x,int y)

{

	nxt[++cnt]=head[x];

	ver[cnt]=y;

	head[x]=cnt;

}

void dfs(int x)

{

	for(int i=head[x];i;i=nxt[i])

	{

		dfs(ver[i]);

		depth[ver[i]]=depth[x]+1;

	}

}

void bfs()//出题人不讲武德 dfs怎么了？ 惹你了？ (doge)

{

	queue<int>q;

	q.push(1);

	while(!q.empty())

	{

		int x=q.front();

		q.pop();

		for(int i=head[x];i;i=nxt[i]) q.push(ver[i]),depth[ver[i]]=depth[x]+1;

	}

}

#define p 1000000007

LL inv[2000010],sum[2000010];

IL LL qpow(LL a,LL b)

{

	LL ans=1;

	while(b)

	{

		if(b&1) ans=ans*a%p;

		a=a*a%p;

		b>>=1;

	}

	return ans;

}

LL ans;

int main()

{

//	freopen("deconstruct.in","r",stdin);

//	freopen("deconstruct.out","w",stdout);

	n=read();

//	for(re int i=1;i<=n;i++) sum[i]=(qpow(i,p-2)+sum[i-1])%p;

	inv[0]=inv[1]=sum[1]=1;

	for(re int i=2;i<=n;i++)

	{

		inv[i]=(p-p/i)*inv[p%i]%p;

		sum[i]=sum[i-1]+inv[i];

	}

	for(re int i=2;i<=n;i++) insert(fa[i]=read(),i);

	bfs();

	for(re int i=1;i<=n;i++) ans=(ans+sum[depth[i]])%p;

	write(ans);

	return 0;

}

Upd

发生了一件玄学的事情。

$O(n)$:

$O(n\log n)$:

两份代码都在上面，$O(n\log n)$就是上面的注释部分。

玄学！

Upd-2

现在都过不去了$\dots$

展示一份过了的代码吧，但是不保证过。$jz$的评测机有点累了啊……

#include<cstdio>

#define mod 1000000007

using namespace std;

int n,dep[2000010],to[2000010],nxt[2000010];

long long ans,kpl[2000010]={0,1},q[2000010]={0,1};

int cnt,h[2000010];

int l=1,r=2;

int res;

char ch;

//#define getchar() (p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++)

//char buf[1<<21],*p1=buf,*p2=buf;

inline int read() {

	res=0;

	ch=getchar();

	while(ch<'0'||ch>'9') ch=getchar();

	while(ch>='0'&&ch<='9') res=(res<<1)+(res<<3)+(ch^48),ch=getchar();

	return res;

}

inline void add(int x,int y)

{

	to[++cnt]=y;

	nxt[cnt]=h[x];

	h[x]=cnt;

}

int i,x;

int main()

{

	freopen("deconstruct.in","r",stdin);

	freopen("deconstruct.out","w",stdout);

	n=read();

	for(i=2;i<=n;i++)

	{

		add(read(),i);

		kpl[i]=kpl[mod%i]*(mod-mod/i);

		if(kpl[i]>=mod) kpl[i]%=mod;

	}

	for(i=2;i<=n;i++)

	{

		kpl[i]+=kpl[i-1];

		if(kpl[i]>=mod) kpl[i]-=mod;

	}

	while(r-l)

	{

		x=q[l++];

		for(i=h[x];i;i=nxt[i])

		{

			dep[to[i]]=dep[x]+1;

			q[r++]=to[i];

		}

	}

	for(i=1;i<=n;i++)

	{

		ans+=kpl[dep[i]];

	}

	printf("%lld",ans%mod);

	return 0;

}