[题解]P3147 [USACO16OPEN] 262144 P

P3146 [USACO16OPEN] 248 G（弱化版）

P3147 [USACO16OPEN] 262144 P

我们先考虑区间dp，设\(f[i][j]\)表示\(a[i,j]\)恰好合并成\(1\)个元素后的答案，\(0\)表示无法合并。

那么对于\(k\)使得\(f[i][k]=f[k+1][j]\neq 0\)，有转移\(f[i][j]=f[i][k]+1\)。

有结论：对于可以合并的区间\([l,r]\)，它们能合并出的答案是唯一的。

\(\bf{Proof}\)：可以将每个值\(a[i]\)映射到\(b[i]=2^{a[i]}\)，合并相当于同指数相加，所以\(b\)的最终合并答案固定为\(2^x\)，那么\(a\)的答案固定为\(x\)。

根据此结论，只要找到一个\(k\)满足条件，直接更新并break出去就可以，不需要对所有\(k\)取\(\max\)。

时间复杂度\(O(n^3)\)，可以通过弱化版。

点击查看代码

#include<bits/stdc++.h>
#define N 250
using namespace std;
int n,a[N],f[N][N],ans;
signed main(){
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i],f[i][i]=a[i];
	for(int len=1;len<=n;len++){
		for(int i=1;i+len-1<=n;i++){
			int j=i+len-1;
			for(int k=i;k<j;k++){
				if(f[i][k]==f[k+1][j]&&f[i][k]){
				    f[i][j]=f[i][k]+1;
				    break;
				}
			}
			ans=max(ans,f[i][j]);
		}
	}
	cout<<ans<<"\n";
	return 0;
}

根据上面的结论，可以推得：对于一个左端点\(l\)，如果存在右端点\(r\)，使得\(a[l,r]\)可以合并成整数\(k\)，那么这个右端点\(r\)是唯一的。又受上面用二进制思考的证明的启发，我们采用倍增。

设\(f[i][j]\)表示以\(i\)为左端点合并成\(j\)这个答案的右端点\(+1\)是多少，\(0\)表示不存在右端点。

有转移\(f[i][j]=f[f[i][j-1]][j-1]\)，很纯的倍增。

代码中循环跑到了\(58\)，是因为答案最大就是\(58\)，因为\(262144=2^{18}\)，最极端的情况就是所有元素都是\(40\)，此时答案是\(40+18=58\)。所以时间复杂度是\(O(n(\log n+V))\)的。

点击查看代码

#include<bits/stdc++.h>
#define N 262150
#define V 60
using namespace std;
int n,a[N],f[N][V],ans;
signed main(){
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i],f[i][a[i]]=i+1;
	for(int i=2;i<=58;i++){
		for(int j=1;j<=n;j++){
			if(!f[j][i]) f[j][i]=f[f[j][i-1]][i-1];
			if(f[j][i]) ans=i;
		}
	}
	cout<<ans<<"\n";
	return 0;
}