Link

  https://jzoj.net/senior/#main/show/3456

Description

  终于,在众亲们的奋斗下,最终boss 恭介被关进了库特设计的密室。正当她们松了一口气时,这个世界却发生了天翻覆地的变化:地面开始下沉,天空开始变成血红色,海水沸腾……一幅世界末日的图景。美鱼从她手中的古籍《若山牧水诗歌集》中发现了原因:白鸟は かなしからずや 空の青 海のあをにも 染まずただよふ 。大(xia)意(shuo)就是狡猾的恭介在创造这个世界的时候就篡改了法则。而这个法则的起源,就是一只生死之间的猫。这个猫被关在一个黑盒子里,盒子里有两个毒气罐,如果有任意一个毒气罐被打开那么猫将会被杀死,法则也能得到纠正。然而外界能控制的仅仅是这两个毒气罐被打开的概率。假设第一个毒气罐被打开的概率为1/x,第二个毒气罐为1/y(x,y 为正整数),那么当两个概率和为1/(n!)时,猫将会被莫名其妙地杀死。现在美鱼想知道,有多少对(x,y)可以让猫被莫名其妙杀死。

Solution

  其实,题目大意可以直接转化成如下一句精炼的话。

  

30分

  显然,因为n太小了,最大只有6,打表都行了,反正我考试时n=6也超时。。

60分

  正解+傻到没打高精度,或者打表。

100分

  我们分解一下题目给出的式子,详见下面过程及讲解

  合并左边的分式可得

  

  通过交叉相乘可得

  

  通过乘法分配律的逆运算得

  

  移项得

  

  通过合并式子得

  

  移项得

  

  分解到这里,我们可以推出下面的式子

  

  x同样可以这样证出来,我考试一直在证这个,其实还是有些乱用的,但是后面才是重点

  根据数学归纳,可以得知,x或y的最大值为n!(n!+1),虽然这没什么卵用

  我们枚举y来确定x,显然

  

  我们将y表示为一般的形式,即y=n!+k(k代表任意符合条件的数),带入前面的式子中,得

  

  合并同类项化简得  

  

  因为x是整数,所以n!n!+kn!必定为k的倍数,因为kn!是k的倍数,故不必考虑第二个多项式,我们只要考虑第一个多项式,即满足如下条件

  

  这样,答案就转化成求n!n!的约数个数了

  快速求n!的约数个数和分解质因子出来的式子(包括质因子和其指数),可以看我写的博客,链接如下

  (当成这里是有链接)

  显然,我们知道一个数分解质因子出来的式子,那么这个数的平方的式子同样可以得出来,不过就是指数都乘2罢了

  约数个数的公式就不用说了吧,小学一年级我就会了。

  这里算约数个数需要高精度。

  因为有时间限制,所以高精度要加常数优化,诸如低精度乘高精度,压位,延迟去乘法等

  问题迎刃而解了,考试时我以为很屌很屌,实际上真的很屌很屌,我数学不好,特别是这种分解的然后用的数代替成一般形式的,Orz lyl,dyp,wmz大佬

Code

var
now:int64;
n,i,j,num,tot:longint;
a:array[..] of int64;
bz:array[..] of ..;
procedure gg(x:int64);
var
i,len:longint;
begin
for i:= to a[] do
a[i]:=a[i]*x; len:=a[];
i:=; while i<=len do
begin
a[i+]:=a[i+]+a[i] div ;
a[i]:=a[i] mod ; if (a[i+]>) and (i+>len) then
inc(len); inc(i);
end; a[]:=len;
end;
begin
readln(n); a[]:=;
a[]:=;
now:=; for i:= to n do
if bz[i]= then
begin
for j:= to n div i do
bz[i*j]:=; num:=n;
tot:=; while num>=i do
begin
num:=num div i; inc(tot,num);
end; tot:=tot*+; if now*tot> then
begin
gg(now); now:=;
end; now:=now*tot; end; if now<> then
gg(now); write(a[a[]]); for i:=a[]- downto do
if a[i]>= then write(a[i]) else
if a[i]>= then write('',a[i]) else
if a[i]>= then write('',a[i]) else
if a[i]>= then write('',a[i]) else
if a[i]>= then write('',a[i]) else
if a[i]>= then write('',a[i]) else
if a[i]>= then write('',a[i]) else
if a[i]>= then write('',a[i]) else
if a[i]>= then write('',a[i]) else
write('',a[i]);
end.

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