UOJ#41. 【清华集训2014】矩阵变换 构造

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题解

首先写个乱搞：

一开始每一行都选择第一个非0元素，然后，我们对这个方案不断做更新，直到任意两行选择的值不同。更新方法：如果有两行选了相同的值，那么让靠前的那行选择后一个非0的值。

交上去。

过了。

wtf？

然后发现证明这个结论我花的时间远远大于AC这题QAQ

现在我们来证明一下：

首先，如果这个算法算出解了，那么肯定合法。这个比较显然就不证明了。

然后，我们来分两步证明一定有解。

接下来我们称让某一行找下一个非0元素这个操作为“弹出这一行的第一个元素”。

引理

　　假设当前状态下，我们在所有行选择的元素构成的集合为 S ；设若干次更新更新后的集合为 S' ，那么一定有： $S\subseteq S'$ 。

　　证明：每次至少有两个相同我们才让其中一个更新，所以这两行原先的值会被保留。所以满足这个引理。

接下来我们证明一个命题。

命题

　　在得到答案之前，1~n 中至少有一种数没有被作为某一行的第一个元素“弹出”过。

　　证明：如果任意两行选择的元素都不同，那么就得到方案了。在集合 S 中元素种类变成 n 的时刻，我们就得到了方案。设最后一次加入集合 S 的元素是 x ，那么在整个过程中， x 一定没有作为某一行的第一个元素被弹出过，所以命题得证。

因为在得到答案之前，1~n 中至少有一种数没有被作为某一行的第一个元素“弹出”过，而每一个元素在每一行都会出现一次。考虑那个没有被弹出过的元素，它保证了每一行都不会被弹光，所以一定有解，而且通过这个构造方法可以得到解。

代码

#pragma GCC optimize("Ofast","inline")
#include <bits/stdc++.h>
#define clr(x) memset(x,0,sizeof (x))
#define For(i,a,b) for (int i=a;i<=b;i++)
#define Fod(i,b,a) for (int i=b;i>=a;i--)
#define pb push_back
#define mp make_pair
#define fi first
#define se second
#define _SEED_ ('C'+'L'+'Y'+'A'+'K'+'I'+'O'+'I')
#define outval(x) printf(#x" = %d\n",x)
#define outvec(x) printf("vec "#x" = ");for (auto _v : x)printf("%d ",_v);puts("")
#define outtag(x) puts("----------"#x"----------")
#define outarr(a,L,R) printf(#a"[%d...%d] = ",L,R);\
						For(_v2,L,R)printf("%d ",a[_v2]);puts("");
using namespace std;
typedef long long LL;
LL read(){
	LL x=0,f=0;
	char ch=getchar();
	while (!isdigit(ch))
		f|=ch=='-',ch=getchar();
	while (isdigit(ch))
		x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48),ch=getchar();
	return f?-x:x;
}
const int N=405;
int T,n,m;
int a[N][N];
int p[N],id[N],cnt[N];
bool cmp(int a,int b){
	return p[a]<p[b];
}
int Getnxt(int i,int &p){
	while (!a[i][p]&&p<=m)
		p++;
	return p<=m;
}
void solve(){
	n=read(),m=read();
	clr(a),clr(p);
	For(i,1,n)
		For(j,1,m)
			a[i][j]=read();
	For(i,1,n)
		Getnxt(i,p[i]=1);
	while (1){
		clr(cnt);
		int flag=0;
		For(i,1,n){
			cnt[a[i][p[i]]]++,id[i]=i;
			if (cnt[a[i][p[i]]]>1)
				flag=1;
		}
		if (!flag)
			break;
		sort(id+1,id+n+1,cmp);
		For(i,1,n)
			if (cnt[a[id[i]][p[id[i]]]]>1){
				if (!Getnxt(id[i],++p[id[i]])){
					puts("\(^o^)/");
					return;
				}
				break;
			}
	}
	For(i,1,n)
		printf("%d ",a[i][p[i]]);
	puts("");
}
int main(){
	T=read();
	while (T--)
		solve();
	return 0;
}