[LeetCode] 51. N-Queens N皇后问题

The n-queens puzzle is the problem of placing n queens on an n×n chessboard such that no two queens attack each other.

Given an integer n, return all distinct solutions to the n-queens puzzle.

Each solution contains a distinct board configuration of the n-queens' placement, where 'Q' and '.' both indicate a queen and an empty space respectively.

Example:

Input: 4
Output: [
 [".Q..",  // Solution 1
  "...Q",
  "Q...",
  "..Q."],

 ["..Q.",  // Solution 2
  "Q...",
  "...Q",
  ".Q.."]
]
Explanation: There exist two distinct solutions to the 4-queens puzzle as shown above.

经典的N皇后问题，基本所有的算法书中都会包含的问题。可能有些人对国际象棋不太熟悉，大家都知道中国象棋中最叼的是车，横竖都能走，但是在国际象棋中还有更叼的，就是皇后，不但能横竖走，还能走两个斜线，有如 bug 一般的存在。所以经典的八皇后问题就应运而生了，在一个 8x8 大小的棋盘上如果才能放8个皇后，使得两两之间不能相遇，所谓一山不能容二虎，而这里有八个母老虎，互相都不能相遇。对于这类问题，没有太简便的方法，只能使用穷举法，就是尝试所有的组合，每放置一个新的皇后的时候，必须要保证跟之前的所有皇后不能冲突，若发生了冲突，说明当前位置不能放，要重新找地方，这个逻辑非常适合用递归来做。我们先建立一个长度为 nxn 的全是点的数组 queens，然后从第0行开始调用递归。在递归函数中，我们首先判断当前行数是否已经为n，是的话，说明所有的皇后都已经成功放置好了，所以我们只要将 queens 数组加入结果 res 中即可。否则的话，我们遍历该行的所有列的位置，行跟列的位置都确定后，我们要验证当前位置是否会产生冲突，那么就需要使用一个子函数来判断了，首先验证该列是否有冲突，就遍历之前的所有行，若某一行相同列也有皇后，则冲突返回false；再验证两个对角线是否冲突，就是一些坐标转换，主要不要写错了，若都没有冲突，则说明该位置可以放皇后，放了新皇后之后，再对下一行调用递归即可，注意递归结束之后要返回状态，参见代码如下：

解法一：

class Solution {
public:
    vector<vector<string>> solveNQueens(int n) {
        vector<vector<string>> res;
        vector<string> queens(n, string(n, '.'));
        helper(, queens, res);
        return res;
    }
    void helper(int curRow, vector<string>& queens, vector<vector<string>>& res) {
        int n = queens.size();
        if (curRow == n) {
            res.push_back(queens);
            return;
        }
        for (int i = ; i < n; ++i) {
            if (isValid(queens, curRow, i)) {
                queens[curRow][i] = 'Q';
                helper(curRow + , queens, res);
                queens[curRow][i] = '.';
            }
        }
    }
    bool isValid(vector<string>& queens, int row, int col) {
        for (int i = ; i < row; ++i) {
            if (queens[i][col] == 'Q') return false;
        }
        for (int i = row - , j = col - ; i >=  && j >= ; --i, --j) {
            if (queens[i][j] == 'Q') return false;
        }
        for (int i = row - , j = col + ; i >=  && j < queens.size(); --i, ++j) {
            if (queens[i][j] == 'Q') return false;
        }
        return true;
    }
};

我们还可以只使用一个一维数组 queenCol 来保存所有皇后的列位置，初始化均为-1， 那么 queenCol[i] 就是表示第i个皇后在 (i, queenCol[i]) 位置，递归函数还是跟上面的解法相同，就是在当前行数等于n的时候，我们要将 queenCol 还原成一个 nxn 大小的矩阵，并存入结果 res 中。这种记录每个皇后的坐标的方法在验证冲突的时候比较简单，只要从第0行遍历到当前行，若跟之前的皇后的列数相同，直接返回false，叼就叼在判断对角线冲突非常简便，因为当两个点在同一条对角线上，那么二者的横坐标差的绝对值等于纵坐标差的绝对值，利用这条性质，可以快速的判断冲突，代码如下：

解法二：

class Solution {
public:
    vector<vector<string>> solveNQueens(int n) {
        vector<vector<string>> res;
        vector<int> queenCol(n, -);
        helper(, queenCol, res);
        return res;
    }
    void helper(int curRow, vector<int>& queenCol, vector<vector<string>>& res) {
        int n = queenCol.size();
        if (curRow == n) {
            vector<string> out(n, string(n, '.'));
            for (int i = ; i < n; ++i) {
                out[i][queenCol[i]] = 'Q';
            }
            res.push_back(out);
            return;
        }
        for (int i = ; i < n; ++i) {
            if (isValid(queenCol, curRow, i)) {
                queenCol[curRow] = i;
                helper(curRow + , queenCol, res);
                queenCol[curRow] = -;
            }
        }
    }
    bool isValid(vector<int>& queenCol, int row, int col) {
        for (int i = ; i < row; ++i) {
            if (col == queenCol[i] || abs(row - i) == abs(col - queenCol[i])) return false;
        }
        return true;
    }
};

Github 同步地址：

https://github.com/grandyang/leetcode/issues/51

类似题目：

N-Queens II

Grid Illumination

参考资料：

https://leetcode.com/problems/n-queens/

http://www.cnblogs.com/TenosDoIt/p/3801621.html

https://leetcode.com/problems/n-queens/discuss/19805/My-easy-understanding-Java-Solution

https://leetcode.com/problems/n-queens/discuss/19808/Accepted-4ms-c%2B%2B-solution-use-backtracking-and-bitmask-easy-understand.

LeetCode All in One 题目讲解汇总(持续更新中...)