【JZOJ6223】【20190617】互膜

题目

小\(A\)和小\(B\)在一个长度为\(2n\)的数组上面博弈，初始时奇数位置为A，偶数位置为B

小\(A\)先手，第\(i\)次操作的人可以将\(i\)或者\(i+1\)位置的值反转(也可以不做任何操作)

\(n-1\)次操作结束后，小\(A\)得分为所有\(A\)位置的权值和，小\(B\)同理

每次会把一个权值改小，询问每次小A得到的和

$n \le 200000 $，权值为非负数

题解

• 设\(f_{i,0/1}\)表示从\(i\)位置向后考虑，\(i\)位置有没有反转，当前操作的人和另一个人得分差值的最大值

  \[\begin{align}
  &\begin{cases}
  f_{i,0} \ &= \ max \{ s_i - f_{i+1,0} , s_i - f_{i+1,1} \} \\
  f_{i,1} \ &= \ max \{ s_i - f_{i+1,0} ,-s_i - f_{i+1,1} \} \\
  \end{cases}\\
  &设\Delta _i = f_{i,0} - f_{i,1} \\
  &由于s_i\ge 0 显然\Delta_i \ge 0\\
  &\begin{cases}
  f_{i,0} \ &= s_i - f_{i+1,1} \\
  f_{i,1} \ &= max \{ 2s_i - \Delta_{i+1} , 0 \} - s_i - f_{i+1,1} \\
  \Delta_i\ &= min \{ 2s_i , \Delta_{i+1} \}
  \end{cases}\\
  &\Delta_n=2s_n 维护 \Delta_i 也就是对2s_i 取后缀min \\
  &f_{1,0} = \sum_{i=1}^{n}(-1)^{i-1}s_i + \sum_{i=2}^{n} (-1)^i \Delta_{i} \\
  \end{align}
  \]

• 维护后缀\(min\)值只有改小的话可以在线段树上先二分再修改，时间复杂度\(O(n \ log \ n)\)

• 没有这个条件可以用线段树维护从前往后递增的单调栈

• 具体来说每段区间维护最小值\(mn\)和区间答案\(sum\)

• 考虑当前区间\(K\)的左右儿子为\(L,R\)，左儿子\(L\)的左右儿子为\(l,r\)

  如果 $mn_{R} \lt mn_{r} $ ，右区间的贡献都为\(mn_R\)，直接统计，并递归\(l\)

  如果 $ mn_R \ge mn_r $ ，记录$ add_K \(表示用\)K\(的左儿子的mn走右儿子的答案，直接统计\)add_K \(并递归\)r$

  时间复杂度：$O(n \log ^2n ) $

  #include<bits/stdc++.h>
  #define ll long long
  #define ls (k<<1)
  #define rs (k<<1|1)
  
  using namespace std;
  
  char gc(){
  	static char*p1,*p2,s[1000000];
  	if(p1==p2)p2=(p1=s)+fread(s,1,1000000,stdin);
  	return(p1==p2)?EOF:*p1++;
  }
  int rd(){
  	int x=0;char c=gc();
  	while(c<'0'||c>'9')c=gc();
  	while(c>='0'&&c<='9')x=(x<<1)+(x<<3)+c-'0',c=gc();
  	return x;
  }
  
  const int N=200010;
  int n,m,s[N];
  ll tmp,Mn,mn[N<<2],sum[N<<2],add[N<<2],ans;
  
  ll sg(int l,int r,int x){return ((r-l)&1)?0:l&1?-x:x;}
  void mfy(int k,int l){mn[k]=s[l];sum[k]=l&1?-s[l]:s[l];}
  void cal(int k,int l,int r){
  	if(l==r){tmp+=sg(l,r,min(Mn,mn[k]));return;}
  	int mid=(l+r)>>1;
  	if(Mn<mn[rs])tmp+=sg(mid+1,r,Mn),cal(ls,l,mid);
  	else tmp+=add[k],cal(rs,mid+1,r);
  }
  void pushup(int k,int l,int r){
  	mn[k]=min(mn[ls],mn[rs]);
  	int mid=(l+r)>>1;
  	tmp=0;Mn=mn[rs];
  	cal(ls,l,mid);
  	sum[k]=sum[rs]+(add[k]=tmp);
  }
  void build(int k,int l,int r){
  	if(l==r){mfy(k,l);return;}
  	int mid=(l+r)>>1;
  	build(ls,l,mid);
  	build(rs,mid+1,r);
  	pushup(k,l,r);
  }
  void update(int k,int l,int r,int x){
  	if(l==r){mfy(k,l);return;}
  	int mid=(l+r)>>1;
  	if(x<=mid)update(ls,l,mid,x);
  	else update(rs,mid+1,r,x);
  	pushup(k,l,r);
  }
  int main(){
  	freopen("flip.in","r",stdin);
  	freopen("flip.out","w",stdout);
  	n=rd();
  	for(int i=1;i<=n;++i){s[i]=rd();if(i&1)ans+=s[i];}
  	build(1,2,n);
  	printf("%lld\n",ans+sum[1]);
  	m=rd();
  	for(int i=1;i<=m;++i){
  		int x=rd(),y=rd();
  		if(x&1)ans-=s[x];
  		s[x]-=y;if(x&1)ans+=s[x];
  		if(x>1)update(1,2,n,x);
  		printf("%lld\n",ans+sum[1]);
  	}
  	return 0;
  }