洛谷CF1030F Putting Boxes Together（树状数组）

题意：

现在有n个物品，第i个物品他的位置在a[i]，他的重量为w[i]。每一个物品移动一步的代价为他的w[i]。目前有2种操作：

1. x y 将第x的物品的重量改为y

2.l r 将编号在 [ l, r ]之间的所有物品移动到一起，求最小的花费是多少。

带权中位数，学习了->这里

先来考虑一下货仓选址问题，就是一堆不带权值的数，选出一个点使得所有点到他的距离之和最小，那么肯定是选中位数最优

然后加上权值限制，这玩意儿有个学名叫做带权中位数

带权中位数为满足$\sum_{i=1}^x w_i\geq \sum_{i=x+1}^n w_i$的最大的$x$

简单证（kou）明（hu）一下为什么是对的，假设将区间内的所有数移到$x+1$的位置，那么$[1,x]$内的数全都要多走$dis[x,x+1]$的路程，而$[x+1,n]$内的数可以少走这么多路程，那么总权值的变化量就为$dis[x,x+1]*(sum_{i=1}^x w_i-\sum_{i=x+1}^n w_i)$，可以发现若上面那个不等式不成立则往右移总权值变小，也就是说答案会更优，所以只有当上面那个等式成立时才不会往右移更优。又因为这玩意儿是从左边移过来的，所以左边的都比他劣。那么它一定是最优的。

于是这个东西我们可以二分

然后我们来考虑一下原问题，发现所有的移动方案都可以等价于固定一个点不动，其他的点向它靠。那么我们设$pos$为最优的点，然后用和上面的方法一样考虑可以发现当$pos$为带权中位数时答案最优。所以我们可以直接二分出$pos$

现在的问题就是如何快速计算总代价了，即$\sum_{i=l}^{pos-1}w_i*(a_{pos}-a_i-(pos-i))+\sum_{i=pos+1}^{r}w_i*(a_{i}-a_{pos}-(i-pos))$

考虑左边这一坨（右边同理），化一下式子可得它等于$$\sum_{i=l}^{pos-1}w_i*(a_{pos}-pos-(a_i-i))$$

然后右边也是差不多的形式，于是只要维护$\sum w_i$和$\sum w_i*(a_i-i)$就能快速算出答案了

于是用树状数组维护这两个玩意儿，然后二分找出带权中位数，每一次快速计算答案即可

 //minamoto
 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 #include<cmath>
 #define ll long long
 using namespace std;
 #define getc() (p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++)
 char buf[<<],*p1=buf,*p2=buf;
 inline int read(){
     #define num ch-'0'
     char ch;bool flag=;int res;
     while(!isdigit(ch=getc()))
     (ch=='-')&&(flag=true);
     for(res=num;isdigit(ch=getc());res=res*+num);
     (flag)&&(res=-res);
     #undef num
     return res;
 }
 char sr[<<],z[];int C=-,Z;
 inline void Ot(){fwrite(sr,,C+,stdout),C=-;}
 inline void print(int x){
     if(C><<)Ot();if(x<)sr[++C]=,x=-x;
     while(z[++Z]=x%+,x/=);
     while(sr[++C]=z[Z],--Z);sr[++C]='\n';
 }
 const int N=2e5+;const ll P=1e9+;
 int n,q;ll a[N],w[N];
 namespace SUM{
     ll c[N];
     inline void add(int x,ll y){
         for(;x<=n;x+=x&-x) c[x]+=y;
     }
     inline ll que(int x){
         ll res=;
         for(;x;x-=x&-x) res+=c[x];
         return res;
     }
     inline ll query(int l,int r){
         if(r<l) return ;
         return que(r)-que(l-);
     }
 }
 namespace MUL{
     ll c[N];
     inline void add(int x,ll y){
         y%=P;
         for(;x<=n;x+=x&-x)
         (c[x]+=y+P)%=P;
     }
     inline ll que(int x){
         ll res=;
         for(;x;x-=x&-x) (res+=c[x])%=P;
         return res;
     }
     inline ll query(int l,int r){
         if(r<l) return ;
         return (que(r)-que(l-)+P)%P;
     }
 }
 inline int getpos(int ql,int qr){
     int l=ql,r=qr,mid,res;
     while(l<=r){
         mid=(l+r)>>;
         if(SUM::query(ql,mid)>=SUM::query(mid+,qr)) res=mid,r=mid-;
         else l=mid+;
     }
     return res;
 }
 void solve(int l,int r){
     if(l==r) return (void)(print());
     int pos=getpos(l,r);ll res=;
     res=(-MUL::query(l,pos)+(SUM::query(l,pos) % P)*(ll)abs(a[pos] - pos)%P+P)%P;
     res=(res+MUL::query(pos,r)-SUM::query(pos,r)%P*(a[pos]-pos)%P+P)%P;
     print(res);
 }
 int main(){
 //    freopen("testdata.in","r",stdin);
     n=read(),q=read();
     for(int i=;i<=n;++i) a[i]=read();
     for(int i=;i<=n;++i){
         w[i]=read(),SUM::add(i,w[i]),MUL::add(i,w[i]*(a[i]-i));
     }
     while(q--){
         int x=read(),y=read();
         if(x<){
             x=-x,SUM::add(x,-w[x]),MUL::add(x,-w[x]*(a[x]-x));
             w[x]=y,SUM::add(x,y),MUL::add(x,y*(a[x]-x));
         }else solve(x,y);
     }
     Ot();
     return ;
 }