BZOJ2654 tree 【二分 + 最小生成树】

题目

给你一个无向带权连通图，每条边是黑色或白色。让你求一棵最小权的恰好有need条白色边的生成树。

题目保证有解。

输入格式

第一行V,E,need分别表示点数，边数和需要的白色边数。

接下来E行,每行s,t,c,col表示这边的端点(点从0开始标号)，边权，颜色(0白色1黑色)。

输出格式

一行表示所求生成树的边权和。

V<=50000,E<=100000,所有数据边权为[1,100]中的正整数。

输入样例

2 2 1

0 1 1 1

0 1 2 0

输出样例

2

题解

又是一个神奇的解法

解法似乎很合理，，但又不知如何证明

假如我们直接求一次最小生成树，白边的数量是无法预知的

但有一点是肯定的：随着白边边权的减小，最小生成树中的白边数量增加

我们就可以二分白边改变的边权，检验最终生成树中白边的数量是否>=need【黑白边权相同时优先选白，保证结果白边尽可能多】

由于题目保证有解，所以最小的不小于need的方案就是最终结果

最后ans要减去need * 白边加的权值

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define LL long long int
#define Redge(u) for (int k = h[u],to; k; k = ed[k].nxt)
#define REP(i,n) for (int i = 1; i <= (n); i++)
#define BUG(s,n) for (int i = 1; i <= (n); i++) cout<<s[i]<<' '; puts("");
using namespace std;
const int maxn = 100005,maxm = 100005,INF = 1000000000;
inline int read(){
	int out = 0,flag = 1; char c = getchar();
	while (c < 48 || c > 57){if (c == '-') flag = -1; c = getchar();}
	while (c >= 48 && c <= 57){out = (out << 3) + (out << 1) + c - 48; c = getchar();}
	return out * flag;
}
int pre[maxn],n,m,need,ans;
struct EDGE{int a,b,v,c;}e[maxn];
inline bool operator <(const EDGE& a,const EDGE& b){
	return a.v == b.v ? a.c < b.c : a.v < b.v;
}
int find(int u){return u == pre[u] ? u : pre[u] = find(pre[u]);}
bool check(int x){
	for (int i = 1; i <= m; i++)
		if (!e[i].c) e[i].v += x;
	sort(e + 1,e + 1 + m);
	for (int i = 1; i <= n; i++) pre[i] = i;
	int fa,fb,cnt = n,tot = 0; ans = 0;
	for (int i = 1; i <= m && cnt > 1; i++){
		fa = find(e[i].a); fb = find(e[i].b);
		if (fa != fb){
			pre[fb] = fa;
			cnt--; ans += e[i].v;
			if (!e[i].c) tot++;
		}
	}
	ans -= need * x;
	for (int i = 1; i <= m; i++)
		if (!e[i].c) e[i].v -= x;
	if (tot >= need) return true;
	return false;
}
int main(){
	n = read(); m = read(); need = read();
	for (int i = 1 ; i <= m; i++){
		e[i].a = read() + 1; e[i].b = read() + 1;
		e[i].v = read(); e[i].c = read();
	}
	int l = -100,r = 100,mid;
	while (l < r){
		mid = l + r + 1 >> 1;
		if (check(mid)) l = mid;
		else r = mid - 1;
	}
	check(l);
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}