hdu2294：Pendant

T<=10组数据问K<=30种珠子每种n<=1e9串成1~n长度的序列共有多少种，mod1234567891。

方程没想到。矩阵不会推。很好。

f[i][j]--长度i，j种珠子方案数，f[i][j]=f[i-1][j]*j（放个旧的）+f[i-1][j-1]+(K-(j-1))（放个新的）

n太大，推不动。由于f[i-1]->f[i]，考虑矩乘优化。设递推用的矩阵为A。F[i]表示f[i][1]~f[i][k]。

方法一：f加多一个数表示ans，初始化{0,k,0,0,……}，那个k是f[1]。A如下：直接乘即可。注意初始化，以及最后一步谁乘谁搞清楚。

方法二：最终答案为F[1][k]+F[2][k]+……+F[n][k]，也就是F[1]+F[2]+……+F[n]的第K项，F[i]=A*F[i-1]=A^(i-1)*F[1]，所以问题就是(E+A+A^2+……+A^n-1)*F[1]的第K项，前面那坨东西：

方法（1）：G[i]=(E+A+A^2+......+A^i)，E是单位矩阵。G[i奇]=G[i-1]*A^i，G[i偶]=G[i/2]+A^(i/2)*G[i/2]，这样G[n-1]可以dfs在log时间内求，而每次要一个快速幂求A^i，复杂度k^3log²n，虽能过题但不优秀。

方法（2）：（来自yyl大爷）把所有的构造往二次幂想。把n-1二进制表示出来，比如10110，新建个H[i]=(E+A+A^2+.....+A^i-1)注意是i-1，那么H[n]=H[10000]*A^110+H[100]*A^10+H[10]*E，也就是如果能求出H[2^i]，那么是可以扫一遍n的二进制位把H[n]求出来的，边扫边更新A的若干次方（遇到1时）。而H[2^i]=H[2^(i-1)]*(A^(2^(i-1))+E)，A^(2^i)又是可以算的。算A^(2^i)，H[2^i]，以及最后枚举二进制位，都是可以k^3logn求出来的。

以下方法一。

 #include<stdio.h>
 #include<string.h>
 #include<algorithm>
 #include<math.h>
 //#include<iostream>
 using namespace std;

 int n,K,T;
 #define maxn 111
 #define LL long long
 typedef LL mat[maxn][maxn];
 mat base,ans,f;
 const int mod=;
 void mul(mat a,mat b,mat &ans)
 {
     mat t;
     memset(t,,sizeof(t));
     for (int i=;i<=n;i++)
         for (int j=;j<=n;j++)
             for (int k=;k<=n;k++)
                 t[i][j]=(t[i][j]+a[i][k]*b[k][j]%mod)%mod;
     for (int i=;i<=n;i++)
         for (int j=;j<=n;j++)
             ans[i][j]=t[i][j];
 }
 int main()
 {
     scanf("%d",&T);
     while (T--)
     {
         scanf("%d%d",&K,&n);
         if (K<n) {puts("");continue;}
         memset(base,,sizeof(base));
         base[][]=base[][n]=;
         base[][]=;
         for (int i=;i<=n;i++)
         {
             base[i][i-]=n-i+;
             base[i][i]=i;
         }
         memset(ans,,sizeof(ans));
         for (int i=;i<=n;i++) ans[i][i]=;
         while (K)
         {
             if (K&) mul(ans,base,ans);
             mul(base,base,base);
             K>>=;
         }
         memset(f,,sizeof(f));
         f[][]=n;
         mul(ans,f,f);
         printf("%lld\n",f[][]);
     }
     return ;
 }