BZOJ 3971 Матрёшка 解题报告

很自然想到区间 DP。

设 $Dp[i][j]$ 表示把区间 $[i, j]$ 内的套娃合并成一个所需要的代价，那么有：

• $Dp[i][i] = 0$
• $Dp[i][j] = min\{Dp[i][k] + Dp[k + 1][j] + Merge([i, k], [k + 1, j])\} (i \le k < j)$

于是问题在于算 $Merge([a, b], [c, d])$。

我们考虑一下：区间 $[a, b]$ 内的哪些套娃是需要打开的：

是不是 $[a, b]$ 中所有大于 $[c, d]$ 中最小的套娃都需要打开，来装 $[c, d]$ 中最小的套娃呢？

$[c, d]$ 同理。

于是我们可以预处理 $Sum[i][x]$ 为在前 $i$ 个套娃中，大小 $\le x$ 的套娃的个数，

那么就可以 $O(1)$ 地算 $Merge([a, b], [c, d])$ 了。

有一个问题，如果在 $[a, b]$、$[c, d]$ 中有相同大小的套娃怎么办？

不着急，先往下看。

处理完 $Dp[i][j]$ 后，我们再设立一个 $F[i]$ 表示把前 $i$ 个套娃装成若干个完好的套娃集所需代价的最小值，那么就有：

• $F[i] = min(F[j] + Dp[j + 1][i]) (mex([j + 1, i]) = i - j + 1)$
• $mex([u, v]) = min(x) (x\notin \{A_u, A_{u+1}, \dots, A_v\})$

当然，如果不能找到合法的转移点，那么令 $F[i] = INF$。

然后对于一个合法的方案，不可能出现相同大小的套娃被装进同一个套娃内的情况，

所以 $[a, b]$、$[c, d]$ 中有相同大小的套娃的话，那么这个区间一定不合法，所以我们大可不必考虑那么多了。

于是最后看 $F[n]$ 就可以了。令 $M = max\{A_i\}$

时间复杂度 $O(n^3 + n^2M)$，空间复杂度 $O(n^2 + nM)$。

 #include <cmath>
 #include <cstdio>
 #include <cstring>
 #include <iostream>
 #include <algorithm>
 using namespace std;
 #define N 500 + 5
 #define INF 593119681

 int n, Max;
 int A[N], _Dp[N], T[N];
 int Sum[N][N], Dp[N][N], Mex[N][N], Min[N][N];

 inline void Prepare()
 {
     for (int i = ; i <= n; i ++)
         Sum[i][A[i]] ++;
     for (int i = ; i <= n; i ++)
         for (int j = ; j <= Max; j ++)
             Sum[i][j] += Sum[i][j - ] + Sum[i - ][j] - Sum[i - ][j - ];

     for (int i = ; i <= n; i ++)
     {
         for (int j = ; j <= Max; T[j ++] = ) ;
         for (int j = i; j <= n; j ++)
         {
             T[A[j]] ++;
             for (Mex[i][j] = ; T[Mex[i][j]]; Mex[i][j] ++) ;
             Min[i][j] = i == j ? A[i] : min(Min[i][j - ], A[j]);
         }
     }
 }

 inline int Calc(int l, int mid, int r)
 {
     int min_1 = Min[l][mid], res = Sum[r][Max] - Sum[mid][Max] - Sum[r][min_1] + Sum[mid][min_1];
     min_1 = Min[mid + ][r], res += Sum[mid][Max] - Sum[l - ][Max] - Sum[mid][min_1] + Sum[l - ][min_1];
     return res;
 }

 int main()
 {
     #ifndef ONLINE_JUDGE
         freopen("3971.in", "r", stdin);
         freopen("3971.out", "w", stdout);
     #endif

     scanf("%d", &n);
     for (int i = ; i <= n; i ++)
     {
         scanf("%d", A + i);
         Max = max(Max, A[i]);
     }
     Prepare();
     for (int len = ; len < n; len ++)
         for (int s = ; s + len <= n; s ++)
         {
             int i = s, j = s + len;
             if (i == j) Dp[i][j] = ;
             else
             {
                 Dp[i][j] = INF;
                 for (int k = i; k < j; k ++)
                     Dp[i][j] = min(Dp[i][j], Dp[i][k] + Dp[k + ][j] + Calc(i, k, j));
             }
         }
     for (int i = ; i <= n; i ++) _Dp[i] = INF;
     for (int i = ; i <= n; i ++)
         for (int j = ; j < i; j ++)
             if (Mex[j + ][i] == i - j + )
                 _Dp[i] = min(_Dp[i], _Dp[j] + Dp[j + ][i]);
     if (_Dp[n] >= INF) puts("Impossible");
         else printf("%d\n", _Dp[n]);

     #ifndef ONLINE_JUDGE
         fclose(stdin);
         fclose(stdout);
     #endif
     return ;
 }

3971_Gromah