2324: [ZJOI2011]营救皮卡丘

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Description

皮卡丘被火箭队用邪恶的计谋抢走了!这三个坏家伙还给小智留下了赤果果的挑衅!为了皮卡丘,也为了正义,小智和他的朋友们义不容辞的踏上了营救皮卡丘的道路。

火箭队一共有N个据点,据点之间存在M条双向道路。据点分别从1到N标号。小智一行K人从真新镇出发,营救被困在N号据点的皮卡丘。为了方便起见,我们将真新镇视为0号据点,一开始K个人都在0号点。

由于火箭队的重重布防,要想摧毁K号据点,必须按照顺序先摧毁1到K-1号据点,并且,如果K-1号据点没有被摧毁,由于防御的连锁性,小智一行任何一个人进入据点K,都会被发现,并产生严重后果。因此,在K-1号据点被摧毁之前,任何人是不能够经过K号据点的。

为了简化问题,我们忽略战斗环节,小智一行任何一个人经过K号据点即认为K号据点被摧毁。被摧毁的据点依然是可以被经过的。

K个人是可以分头行动的,只要有任何一个人在K-1号据点被摧毁之后,经过K号据点,K号据点就被摧毁了。显然的,只要N号据点被摧毁,皮卡丘就得救了。

野外的道路是不安全的,因此小智一行希望在摧毁N号据点救出皮卡丘的同时,使得K个人所经过的道路的长度总和最少。

请你帮助小智设计一个最佳的营救方案吧!

Input

第一行包含三个正整数N,M,K。表示一共有N+1个据点,分别从0到N编号,以及M条无向边。一开始小智一行共K个人均位于0号点。

接下来M行,每行三个非负整数,第i行的整数为Ai,Bi,Li。表示存在一条从Ai号据点到Bi号据点的长度为Li的道路。

Output

仅包含一个整数S,为营救皮卡丘所需要经过的最小的道路总和。

Sample Input

3 4 2

0 1 1

1 2 1

2 3 100

0 3 1

Sample Output

3

【样例说明】

小智和小霞一起前去营救皮卡丘。在最优方案中,小智先从真新镇前往1号点,接着前往2号据点。当小智成功摧毁2号据点之后,小霞从真新镇出发直接前往3号据点,救出皮卡丘。

HINT

对于10%的数据满足 K = 1,且N = 3,小智将独自前去营救皮卡丘;

对于20%的数据满足 K ≤ 3,且N ≤ 20,被小智单挑剿灭的火箭队加强了防御,增加了据点数;

对于40%的数据满足 K ≤ 3,且N ≤ 100,面对加强的防御,小智拉来了好朋友小霞和小刚,一同前去营救;

对于另外20%的数据满足任意一对据点之间均存在道路,并且对任意的0 ≤ X,Y,Z ≤ N,有不等式L(X,Z) ≤ L(X,Y) + L(Y,Z)成立;

对于100%的数据满足N ≤ 150, M ≤ 20 000, 1 ≤ K ≤ 10, Li ≤ 10 000, 保证小智一行一定能够救出皮卡丘。

至于为什么K ≤ 10,你可以认为最终在小智的号召下,小智,小霞,小刚,小建,小遥,小胜,小光,艾莉丝,天桐,还有去日本旅游的黑猫警长,一同前去大战火箭队。

Source

Day2

题解:

这题和星际竞速还有打印机两题的主体思路都是一样的

每个点一定要经过,并且要经过这个点,必须经过比这个点小的所有点。而且还存在一个附加源,但源到附加源有一定的容量限制(星际没有。。。)

这题我们采用如下方式建图:

1.把每个点拆成 i 和 i+n 两个点,分别表示从这个点出发和进入这个点

2.由s向所有i 连容量为1,费用为0的边

2.由所有i+n到t连容量为1,费用为0的边

3.由 i 向所有 j+n(j>n)连容量为1,费用为从 i 到 j,不经过比j标号大的中间节点的最短路 的边 (否则这条道路将不合法)

正确性可以从i+n 入流的来源来考虑,每一种流法都代表着一种实实在在的、合法的方案,cost就是花费时间,我们要时间最短,自然要最小费用最大流了

还有一个问题就是

费用为从 i 到 j,不经过比j标号大的中间节点的最短路  怎么求?

我自己yy了一种想法,如下:

    for(int k=;k<=n;k++)
for(int i=;i<=n;i++)
for(int j=k;j<=n;j++)
f[i][j]=min(f[i][j],f[i][k]+f[k][j]);

意思就是不使用比 j 大的节点作为中间节点来更新 i(1..n)到j的最短路

所以这个过程结束后,f[i][j]就代表着从 i 到 j不经过比 j大的节点的最短路

代码:

 #include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<vector>
#include<map>
#include<set>
#include<queue>
#define inf 1000000000
#define maxn 500
#define maxm 100000
#define eps 1e-10
#define ll long long
#define pa pair<int,int>
using namespace std;
inline int read()
{
int x=,f=;char ch=getchar();
while(ch<''||ch>''){if(ch=='-')f=-;ch=getchar();}
while(ch>=''&&ch<=''){x=*x+ch-'';ch=getchar();}
return x*f;
}
int n,m,k,tot=,s,t,ss,head[maxn],q[maxn],from[maxn],f[maxn][maxn];
bool v[maxn];
ll d[maxn],mincost;
struct edge{int from,next,go,v,c;}e[*maxm];
void ins(int x,int y,int z,int w)
{
e[++tot].go=y;e[tot].from=x;e[tot].v=z;e[tot].c=w;e[tot].next=head[x];head[x]=tot;
}
void insert(int x,int y,int z,int w)
{
ins(x,y,z,w);ins(y,x,,-w);
}
bool spfa()
{
for (int i=s;i<=ss;i++)d[i]=inf;
memset(v,,sizeof(v));
int l=,r=,y;q[]=s;d[s]=;v[]=;
while(l!=r)
{
int x=q[++l];if(l==maxn)l=;v[x]=;
for (int i=head[x];i;i=e[i].next)
if(e[i].v&&d[x]+e[i].c<d[y=e[i].go])
{
d[y]=d[x]+e[i].c;from[y]=i;
if(!v[y]){v[y]=;q[++r]=y;if(r==maxn)r=;}
}
}
return d[t]!=inf;
}
void mcf()
{
while(spfa())
{
int tmp=inf;
for(int i=from[t];i;i=from[e[i].from]) tmp=min(tmp,e[i].v);
mincost+=d[t]*tmp;
for(int i=from[t];i;i=from[e[i].from]){e[i].v-=tmp;e[i^].v+=tmp;}
}
}
int main()
{
freopen("input.txt","r",stdin);
freopen("output.txt","w",stdout);
n=read();m=read();k=read();
memset(f,,sizeof(f));
for(int i=;i<=m;i++)
{
int x=read(),y=read(),z=read();
f[x][y]=min(f[x][y],z);f[y][x]=min(f[y][x],z);
}
s=;t=*n+;ss=*n+;insert(s,ss,k,);
for(int k=;k<=n;k++)
for(int i=;i<=n;i++)
for(int j=k;j<=n;j++)
f[i][j]=min(f[i][j],f[i][k]+f[k][j]);
for(int i=;i<=n;i++)insert(s,i,,);
for(int i=;i<=n;i++)insert(ss,i+n,,f[][i]);
for(int i=;i<=n;i++)insert(i+n,t,,);
for(int i=;i<=n;i++)
for(int j=i+;j<=n;j++)
insert(i,j+n,,f[i][j]);
mcf();
printf("%lld\n",mincost);
return ;
}

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