n个人排队都不站在原来的位置

一、题目描述

有n个人首先站成一排，请问，当n个人第二次再重新排列，每个人都不在原来的位置上，问有多少种站法。例如，原来有3个人，ABC，那么第二次每个人都不在原来的位置上有2种站法，BCA和CAB，这题其实是一道数学题，考察排列组合的知识。

解题思路：假设有n个人，我们的问题规模设为A(n)，A(n)代表n个人都不在原来的位置上一共有多少种站法。令第1个人站在非1号位置，一共有n-1种站法，假设第1个人站在2号位置，那么第2个人的站的位置分2类：第一类是第2个人站在1号位置，这样第1个人和第2个人的位置都确定了，那么剩下n-2个位置，问题规模变成了A(n-2)，相当于第3个人不站在3号位置，第4个人不站在4号位置.....第n个人不站在n号位置，第二类是第2个人不是站在1号位置，那么问题的规模又变成了A(n-1)，相当于第2个人不站在1号位置，第3个人不站在3号位置，第4个人不站在4号位置......第n个人不站在n号位置。所以A(n) = (n-1) * ( A(n-1) + A(n-2) )，这样解题的思路就清晰了，只需要定义一个数组arr[n + 1]，首先保存arr[1] = 0，arr[2] = 1，从arr[3]开始，迭代计算 arr[i] = (i - 1) * (arr[i - 1]  + arr[i - 2])，最后返回arr[n]就行了，也可以定义三个变量分别保存arr[1]，arr[2]，arr[3]，然后交替赋值，这样能节省空间。为了清晰，我还是以定义数组来演示程序。

二、代码演示

/**
     * n个人原来站成一排，重新再排一次，要求每个人都不能
     * 站在原来的位置，求有多少种站法。
     * @param n
     */
    public static int fun(int n) {
        if(n <= 1) return 0;
        if(n == 2) return 1;
        int[] arr = new int[n + 1];
        arr[1] = 0;
        arr[2] = 1;
        for(int i = 3; i <= n; i++) {
            arr[i] = (i - 1) * (arr[i - 1] + arr[i - 2]);
        }
        return arr[n];
    }