对dy和Δy的浅薄理解

一、导数定义

当函数y=f(x)的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x0处的导数，记作f'(x0)或df(x0)/dx。

二、微分定义

设函数y= f(x)，若自变量在点x的改变量Δx与函数相应的改变量Δy有关系Δy=A×Δx+ο(Δx)，其中A为不依赖Δx的常数，ο(Δx)是Δx的高阶无穷小。则称函数f(x)在点x可微，并称AΔx为函数f(x)在点x的微分（线性部分），记作dy，即dy=A×Δx，当x= x0时，则记作 \(dy∣x=x_0\) 。

三、dy和Δy比较大小

1、题目由来

以后记住了但凡遇见f(a)-f(b)就往拉格朗日中值定理靠

2、表示含义

Δy是一个区间Δx上的y的差值；

dy表示的是区间上Δx切线的差值

3、几何表示

4、凹凸函数比较大小

(1)判别凹凸函数：

(2)比较：

比较dy与Δy的大小就是要看高阶无穷小o(dx)的符号。对于一般的函数f(x)，o(dx)的符号不一定，无法比较。凹函数Δy＞dy，凸函数Δy＜dy。 （这里的大小包含正负，指的是单纯的数值大小，而不是长度 ，比如Δy=-5，dy=-6，虽然长度上5＜6，但因为需要包括正负号，所以Δy＞dy）

(3)案例：

四、一道定义题目

五、可导可微充分必要证明

(1)可导推可微：

(2)可微推可导：