HDU 3267 Graph Game（博弈论+图论+暴力）

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题意：

• 有一棵 \(n\) 个节点的图 \(G\)，R 和 B 两个人轮流操作，R 先操作。
• 每次操作 R 可以染红任意一条未染色的边，B 可以染蓝任意一条未染色的边
• R 的目标是染成一棵全蓝的生成树，R 的目标是阻止后手染成一棵全蓝的生成树，问谁会赢。
• \(n \in [1,10]\)，\(m \in [1,30]\)

yet another 博弈论 problem......

不难猜出本题的结论是如果 \(G\) 中存在两棵边集不相交的生成树，答案为 \(\texttt{YES}\)，否则答案为 \(\texttt{NO}\)，你手玩几组数据应该就可以看出来。

但是怎么证明呢？

对于游戏中任意一个局面，我们分以下几种情况考虑：

1. 如果 \(G\) 中存在两棵生成树 \(T_1,T_2\)，满足 \(T_1,T_2\) 只由蓝边或无色边组成，并且 \(T_1,T_2\) 中无色边组成的边集不相交。
   
   如果 R 染红的边不在 \(T_1,T_2\) 中，那么 B 随便染蓝一条边都可以保持这个局面。因为你染蓝这条边后 \(T_1,T_2\) 依然满足上述条件。
   
   如果 R 染红的边在 \(T_1,T_2\) 中，不妨假设 R 染红的边为 \(e_1 \in T_1\)，那么 B 必然可以找出 \(e_2 \in T_2\)，满足从 \(T_1\) 中删除 \(e_1\) 加入 \(e_2\) 依然是一个生成树 \(T'_1\)。你感性理解一下，去掉 \(e_1\) 之后原树 \(T_1\) 分成两个点集 \(V_1,V_2\)，由于 \(T_2\) 是一棵树，那么必然有一条边 \(e_2\) 沟通了 \(V_1,V_2\)，不然 \(T_2\) 就不连通了。如果此时 \(e_2\) 未染色，那么 B 可以将 \(e_2\) 染成蓝色，此时 \(T'_1\) 与 \(T_2\) 依然满足上述条件。如果 \(e_2\) 已经染成蓝色，那么 B 随便染蓝一条边也不会使局面更坏。
   
   综上，这种情况下 B 有必胜策略。
2. 如果 \(G\) 中不存在两棵生成树 \(T_1,T_2\)，满足 \(T_1,T_2\) 只由蓝边或无色边组成，并且 \(T_1,T_2\) 中无色边组成的边集不相交。
   
   Ⅰ. 如果 \(G\) 中存在一条边 \(e\) 满足 B 将 \(e\) 染蓝后会得到 1 的局面。那么 R 可将 \(e\) 染红。此时，先手边后手，后手变先手，根据 1 的结论，R 可以染出一棵全红的生成树，B 就染不出一棵全蓝的生成树了。
   
   Ⅱ. 如果 \(G\) 中不存在一条边 \(e\) 满足 B 将 \(e\) 染蓝后会得到 1 的局面。那么 R 可以随便染红一条边，因为 B 不管染蓝哪条边都得不到 1 的局面。
   
   综上，这种情况下 R 有必胜策略。

接下来就是实现的问题。本题数据范围很小，而博主又太菜不会什么 Minmax 搜索之类的高级算法。只好采用暴搜的方法，暴力枚举一棵生成树的边集判断其他边是否能构成一棵生成树，由于 \(C_{30}^9=14307150\) 只达到 \(10^7\) 级别。因此你稍微剪点枝就可以过了。

/*
Contest: -
Problem: HDU 3267
Author: tzc_wk
Time: 2020.7.27
*/
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define fi            first
#define se            second
#define fz(i,a,b)    for(int i=a;i<=b;i++)
#define fd(i,a,b)    for(int i=a;i>=b;i--)
#define foreach(it,v) for(__typeof(v.begin()) it=v.begin();it!=v.end();it++)
#define all(a)        a.begin(),a.end()
#define fill0(a)    memset(a,0,sizeof(a))
#define fill1(a)    memset(a,-1,sizeof(a))
#define fillbig(a)    memset(a,0x3f,sizeof(a))
#define fillsmall(a) memset(a,0xcf,sizeof(a))
#define y1            y1010101010101
#define y0            y0101010101010
typedef pair<int,int> pii;
inline int read(){
    int x=0,neg=1;char c=getchar();
    while(!isdigit(c)){
        if(c=='-') neg=-1;
        c=getchar();
    }
    while(isdigit(c)) x=x*10+c-'0',c=getchar();
    return x*neg;
}
bool ans=0;
int n,k,m,u[75],v[75],f[75],num=0;
bool vis[75];
inline int find(int x){
	return (f[x]==x)?(x):find(f[x]);
}
int to[75],ecnt=0,nxt[75],hd[75];
inline void ae(int x,int y){
	to[++ecnt]=y;
	nxt[ecnt]=hd[x];
	hd[x]=ecnt;
}
int used[75];
inline void findcomp(int x){
	if(used[x]) return;
	used[x]=1;
	for(int i=hd[x];i;i=nxt[i]) findcomp(to[i]);
}
inline void dfs(int x,int lst){
    if(x==n){
//		num++;
//		if(num%100000==0) cout<<num<<endl;
//		fz(i,1,m) if(vis[i]) cout<<i<<" ";puts("");
		fill0(hd);fill0(nxt);fill0(to);ecnt=0;fill0(used);
		fz(i,1,m) if(!vis[i]) ae(u[i],v[i]),ae(v[i],u[i]);
		findcomp(1);bool flg=1;
		fz(i,1,n) if(!used[i]) flg=0;
		if(flg) ans=1;
		return;
	}
	for(int i=lst+1;i<=m;i++){
		int _u=u[i],_v=v[i];
//		if(rand()&1)    swap(_u,_v);
		int fu=find(_u),fv=find(_v);
		if(fu!=fv){
			f[fu]=fv;vis[i]=1;dfs(x+1,i);
			if(ans) return;
			vis[i]=0;f[fu]=fu;f[fv]=fv;
		}
	}
}
inline void solve(){
	m=0;fill0(u);fill0(v);fill0(f);
	fz(i,1,k){
		int _u=read(),_v=read();_u++;_v++;
		if(_u!=_v) u[++m]=_u,v[m]=_v;
	}
	fz(i,1,n) f[i]=i;
	fill0(vis);ans=0;dfs(1,0);
	if(ans) puts("YES");
	else puts("NO");
}
signed main(){
	while(scanf("%d %d",&n,&k)){
		if(!~n) break;
		solve();
	}
	return 0;
}