正整数N是否是素数

来自：【数据结构与算法分析——C语言描述】练习2.13

问题描述：

a. 编写一个程序来确定正整数N是否是素数。

b. 你的程序在最坏的情形下的运行时间是多少（用N表示）？

c. 令B等于N的二进制表示法中的位数。B的值是多少？

d. 你的程序在最坏的情形下的运行时间是多少（用B表示）？

e. 比较确定一个20（二进制）位的数是否是素数和确定一个40（二进制）位的树是否是素数的运行时间。

f. 用N或B给出运行时间更合理吗？为什么？

思路：检查N是否是偶数（或2）以及检查它是否能被3, 5, 7, ... N^½整除。

a.代码如下：

int isPrime(unsigned int N)
{
    if (N == 1)
        return 0;
    if (N % 2 == 0)
        return 0;

    for (int i = 3; i*i <= N; i += 2)
    {
        if (N % i == 0)
            return 0;
    }
    return 1;
}

b. 时间复杂度是 O(N^½)
c. 当N是偶数，令N = 2^B-1，所以N^½ = 2^(B-1)/2，所以是O(2^B/2)。当N是奇数，它的位数跟它的前一个偶数的位数是相同的，结论不变。

d. 无法确定。如果20位的数是偶数，40位的是一个奇数，那么前者需要1次运算，后者需要进入for循环多次运算。反之也是。

e. 用B给出运行时间更合理，它对数字的操作精确到（二进制）位。