Codeforces Round #104 (Div. 1)

A.Lucky Conversion

题意

• 给定两个长度为 \(N(N \le 10^5)\) 且由4和7构成的 \(a, b\)串
• 对 \(a\) 可以有两种操作：

1. 交换两个位置的字符;
2. 改变一个位置的字符。

• 求最少到操作次数，使得两串相同。

思路

• 统计需要改变4的个数和改变7的个数。
• 两个数到最小值表示两两交换使得对应位相同，剩下的只有其中一种，再进行操作2使得对应位相同。
• 也就是取两者最大值即答案。

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B. Lucky Number 2

题意

• 用 \(cnt(x)\) 表示串 \(x\) 在一个串 \(s\) 中出现到次数。
• 现给出 \(cnt(4), cnt(7), cnt(47), cnt(74)\)，求满足这些条件的最小的串 \(s\)，串 \(s\) 仅包含4和7。

思路

• 47和74只出现在4、7交界处，即如果我们把连续的4和连续的7看成4和7,则最后的串到形式为4、7交替出现，例如……47474……。
• 显然，47和74的个数差值不会超过1。
• 那么只要根据47和74的3种差值构造，多余的4插到前面，7则放到后面。

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C. Lucky Subsequence

题意

• 给定 \(N(N \le 10^5)\) 个数 \(a_i(1 \le a_i \le 10^9)\) ，其中仅由4、7构成的数是幸运数。
• 求出长度为 \(K\) 的子序列，满足序列中没有相同的幸运数的方案数，结果对 \(10^9 + 7\) 取模。
• 只要序列选取到位置不同，则认为两种方案不同。

思路

• 在 \(10^9\) 范围内幸运数的个数就1000个左右。
• 用 \(f(i,j)\) 表示前 \(i\) 种幸运数中取 \(j\) 种放入集合中的权值积之和，转移： \[f(i,j) = f(i - 1, j) + c_i f(i - 1, j - 1) \] \(c_i\) 表示第 \(i\)种幸运数出现的次数。
• 假设取了 \(j\) 个幸运数，则从非幸运数集合中取 \(K - j\) 个放入集合即可。

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D. Lucky Pair

题意

• 给一个长为 \(N(N \le 10^5)\) 的序列。
• 其中幸运数的个数不超过 \(10^3\) 。
• 求 \([l_1,r_1]\) 和 \([l_2, r_2]\) 的对数，满足 \(l_1 \le r_1 \lt l_2 \le r_2\)，且两个区间没有幸运数的交集，就是对于每种幸运数最多只能出现在一个区间中。

思路

• 可以用总方案数 \(-\) 不合法的方案数。
• 总方案数 = \(\binom{N}{4} + 2\binom{N}{3} + \binom{N}{2}\)
• 假设已经得到了左区间 \([l_1, r_1]\) ，那么右半部分 \((r_1, n]\) 会被lucky number分割成若干的区间，使得这些小区间不包含lucky number。
• 先固定左区间的右端点 \(r_1\)，然后从大到小枚举左端点 \(l_1\) ，右半部分 \((r_1, n]\) 区间会发生变化，当且仅当 \(l_1\) 是lucky number并且在 \((l_1, r_1]\) 未出现，所以我们只要枚举lucky number的位置即可。
• 考虑右半部分新增的分割点，假设为 \(p\) ，\(pre\)表示 \(p\) 的前一个分割点，\(nxt\)为后一个。那么新增的不合法右区间为包含 \(p\) 的且不包含\(pre,nxt\)的区间。
• 由于有非lucky number的存在，所以还要考虑左右端点不是lucky number的扩展。

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E. Lucky Queries

题意

• 给一个长为 \(N(N \le 10^6)\) 且由4、7构成的串 \(s\) 。
• 有 \(M(M \le 3 \times 10^5)\) 次操作：

1. switch l r：将区间 \([l, r]\) 的 \(4 \to 7, 7 \to 4\) 。
2. count：求串s的最长上升子序列。

思路

• 将4看成0, 7看成1
• 线段树维护区间0的个数 \(c_0\)， 1的个数 \(c_1\)， 最长上升子序列长度 \(lis\), 下降 \(lds\)。