洛谷P1017 进制转换

题目描述

我们可以用这样的方式来表示一个十进制数: 将每个阿拉伯数字乘以一个以该数字所处位置的(值减1)为指数,以10为底数的幂之和的形式。例如:123可表示为 $1*10^2+2*10^1+3*10^0$ 这样的形式。

与之相似的,对二进制数来说,也可表示成每个二进制数码乘以一个以该数字所处位置的(值-1)为指数,以2为底数的幂之和的形式。一般说来,任何一个正整数R或一个负整数-R都可以被选来作为一个数制系统的基数。如果是以R或-R为基数,则需要用到的数码为 0,1,....R-1。例如,当R=7时,所需用到的数码是0,1,2,3,4,5和6,这与其是R或-R无关。如果作为基数的数绝对值超过10,则为了表示这些数码,通常使用英文字母来表示那些大于9的数码。例如对16进制数来说,用A表示10,用B表示11,用C表示12,用D表示13,用E表示14,用F表示15。

在负进制数中是用-R 作为基数,例如-15(十进制)相当于110001(-2进制),并且它可以被表示为2的幂级数的和数:

\[110001 = 1*{(-2)}^{5} +1*{(-2)}^{4} +0*{(-2)}^{3} +0*{(-2)}^{2} +0*{(-2)}^{1} +1*{(-2)}^{0}
\]

设计一个程序,读入一个十进制数和一个负进制数的基数, 并将此十进制数转换为此负进制下的数:$-R \in \{-2,-3,-4,...,-20\}$

输入输出格式

输入格式：

输入的每行有两个输入数据。

第一个是十进制数$N, －32768 \le N \le 32767$；第二个是负进制数的基数$-R \in \{-2,-3,-4,...,-20\}$。

输出格式：

结果显示在屏幕上，相对于输入，应输出此负进制数及其基数，若此基数超过$10$，则参照$16$进制的方式处理。

输入输出样例

输入样例	输出样例
30000 -2	30000=11011010101110000(base-2)
-20000 -2	-20000=1111011000100000(base-2)
28800 -16	28000=19180(base-16)
-25000 -16	-25000=7FB8(base-16)

说明

NOIP2000提高组第一题

题目中的例子：

\[(-15) = 1*{(-2)}^{5} +1*{(-2)}^{4} +0*{(-2)}^{3} +0*{(-2)}^{2} +0*{(-2)}^{1} +1
\]

最后一项的系数是1，而前面几项的系数都是(-2)的幂，也就是说，用取模能得到最后一项：

\[(-15) \mod (-2) = 1
\]

接下来剩下的几项系数就全是(-2)的幂了。先把次数降一位，然后再用一样的方法，就能得到倒数第二位：

\[\frac{1*{(-2)}^{5} +1*{(-2)}^{4} +0*{(-2)}^{3} +0*{(-2)}^{2} +0*{(-2)}^{1}}{(-2)}
\]

\[\Rightarrow 1*{(-2)}^{4} +1*{(-2)}^{3} +0*{(-2)}^{2} +0*{(-2)}^{1} +0
\]

这样操作下来就行啦。但是还有一个问题：

\[ -15 \mod -3 = 0
\\ \frac{-15}{-3} = 5
\\ 5 \mod -3 = 2
\\ \frac{5}{-3} = -1
\\ -1 \mod -3 = -1
\\ \frac{-1}{-3} = 0 \]

我们这里得到了$ -15 = -1(-3)^2 + 2(-3)^1 + 0$ ，是正确的，但是最高项是$-1$，是个负数，写不出来。怎么办呢？

可以把$-1$加上$3$（因为我们要转换到$-3$进制），然后得到$2$。再添上一个$1*-3^3$，式子就变成了$-15 = 1*(-3)^3 + 2*(-3)^2 + 2*(-3)^1 + 0$，去掉了负数，可以表示出来了。

更一般地，设$x$是个正数，假如我们有$A = (-x)*(-b)^{n}$，我们可以把它变成$A = 1*(-b)^{n+1} + (b-x)*(-b)^{n}$。证明如下：

\[ 1*(-b)^{n+1} + (b-x)*(-b)^{n}
\\ = (-b)*(-b)^{n} + b*(-b)^{n} + (-x)*(-b)^{n}
\\ = (-x)*(-b)^{n}\]

下面是实现：

#include <stdio.h>

const char cmap[] = "0123456789ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ";

int main(void) {

    int n, base;

    int res[1000];

    int *resp;

#ifdef LOCAL

    freopen("1.txt", "r", stdin);

#endif

    while (~scanf("%d%d", &n, &base)) {

        resp = res+1;

        *resp = 0;

        printf("%d=", n);

        for (; n; ++resp) {

            *resp = n % base;

            n /= base;

            if (*resp < 0) {

                *resp -= base;

                ++n;

            }

        }

        for (--resp; resp != res; --resp) {

            printf("%c", cmap[*resp]);

        }

        printf("(base%d)\n", base);

    }

    return 0;

}