NC19910 [CQOI2007]矩形RECT

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题目

题目描述

给一个a*b矩形，由a*b个单位正方形组成。你需要沿着网格线把它分成分空的两部分，每部分所有格子连通，且至少有一个格子在原矩形的边界上。“连通”是指任两个格子都可以通过水平或者竖直路径连在一起。 求方案总数。例如3*2的矩形有15种方案。

输入描述

输入仅一行，为两个整数a，b。\(1\leq a\leq6\) ，\(2\leq b\leq 7\)

输出描述

输出仅一行，即方案总数。

示例1

输入

3 2

输出

15

示例2

输入

3 3

输出

52

题解

知识点：DFS。

计数问题用dfs较为合适，注意到只要切成两块，因此切入点和切出点各仅有一个，而且切痕不能交叉。因此枚举各边的切入点，搜索所有切痕条数，切出边一次算一条（包括自己边）。

由于枚举时会产生重复情况，因为路径的终点也能作为起点返回去算一条，但结合矩形的对称性，我们枚举横竖两边即可。先给边标号 \(1,2,3,4\) ，假设 \(1,2\) 是横竖两边，那么能搜索出 \(11,11,12,13,14;21,22,22,23,24\) 边上所有点的切线条数，其中 \(11,22\) 有两次是因为自己边作为起点和终点可以有往返两条路径。我们把其中 \(11\) 作为 \(33\) ，\(22\) 作为 \(44\) ，\(21\) 作为 \(34\) 即可有边的全部组合。

时间复杂度 \(O(2^{mn})\)

空间复杂度 \(O(mn)\)

代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

int n, m;
bool vis[7][8];
const int dir[4][2] = { {1,0},{-1,0},{0,1},{0,-1} };
int cnt;

void dfs(int x, int y) {
    if (!x || !y || x == n || y == m) {
        cnt++;
        return;
    }
    for (int i = 0;i < 4;i++) {
        int xx = x + dir[i][0];
        int yy = y + dir[i][1];
        if (vis[xx][yy]) continue;
        vis[xx][yy] = 1;
        dfs(xx, yy);
        vis[xx][yy] = 0;
    }
}

int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
    cin >> n >> m;
    ///只需枚举横竖两条边，因为自己一边或者横竖两边之间任意路径，都会有一个重复的返回路径
    ///根据对称性,可以看作对边自己或者对边横竖之间的所有路径
    for (int i = 1;i < n;i++) {
        vis[i][0] = 1;
        vis[i][1] = 1;
        dfs(i, 1);
        vis[i][0] = 0;
        vis[i][1] = 0;
    }
    for (int i = 1;i < m;i++) {
        vis[0][i] = 1;
        vis[1][i] = 1;
        dfs(1, i);
        vis[0][i] = 0;
        vis[1][i] = 0;
    }
    cout << cnt << '\n';
    return 0;
}