CF1442D Sum

题意

有 \(n\) 个不降的非负整数数组，每个数组可以不取或取一个前缀，总共要取 \(k\) 个元素，问取到的和最大多少。

题解

结论题，但是想到结论还不会。

首先，我们只会有一个数组没选完，其它要么全选要么不选。证明考虑假设两个数组都没选完，基于数组单调不降进行一些分类讨论会发现存在一些严格不劣的调整方法。

接下来，我们相当于指定一个数组不要选，然后对剩下做 01-背包，接下来只要枚举指定的数组选几个即可。然后这个是 \(\Theta(n^2k)\) 的，于是你寄了。

01 背包是经典 max-plus 卷积，合并两个背包需要 \(\Theta(k^2)\) 的时间，而加入一个物品需要 \(\Theta(k)\) 的时间，\(n, k\) 同阶，所以别去想依赖于合并背包的做法。首先你有一个想法，当你先后枚举某两个数组不选的时候，左边的数组左边的那些物品和右边的数组右边的那些物品被重复计算了，这是浪费时间的地方。于是考虑分个块，对于一个块，预处理加入从左端点一直到块左端点的所有物品，这部分总共加入了 \(\Theta(n\cdot\frac n B)\) 次，以及从右端点一直到块右端点的所有物品，这样你枚举块内的物品，每次只需要在预处理出的背包中加入 \(\Theta(B)\) 个物品。于是你得到了一个 \(\Theta(nk\sqrt n)\) 的做法。

考虑把上面的分块换成分治，变成每次加入右边所有物品，递归到左边；加入左边所有物品，递归到右边。这样时间 \(\Theta(nk\log n)\)，空间 \(\Theta(k\log n)\)。