Sum of MSLCM 题解

Sum of MSLCM

题目大意

定义 \(\text{MSLCM}(n)\) 为所有满足该数集的 \(\text{lcm}\) 为 \(n\) 的数集中元素个数最多的数集的所有数字的和，现有多次询问，求

\[\sum_{i=2}^n\text{MSLCM}(i)
\]

思路分析

大水题。

虽然看着这个东西很可怕，但仔细一想你就会发现，其实 \(\text{MSLCM}(n)=\sum_{d|n}d\)，这个所谓的数集其实就是由 \(n\) 的约数集，因为只有这样才能满足元素个数最多的条件。

那么我们要求的就是下面这个

\[\sum_{i=2}^n\sum_{d|i}d
\]

简单化一下

\[\begin{aligned}&\sum_{i=2}^n\sum_{d|i}d\\&=\sum_{i=1}^n\sum_{d|i}d-1\\&=\sum_{i=1}^n\sum_{d=1}^nd[d|i]-1\\&=\sum_{d=1}^nd\sum_{i=1}^n[d|i]-1\\&=\sum_{d=1}^nd\lfloor\frac{n}{d}\rfloor-1\end{aligned}
\]

只需要整除分块就好了。

时间复杂度：\(O(T\sqrt n)\)。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long//好习惯

int n,ans;

signed main(){
    while(true){
        scanf("%lld",&n);
        if(n==0) return 0;ans=0;
        for(int l=1,r;l<=n;l=r+1){//整除分块
            r=n/(n/l);
            ans+=(n/l)*(r+l)*(r-l+1)/2;
        }
        cout<<ans-1<<'\n';
    }
    return 0;
}