【CF932E】Perpetual Subtraction（NTT，线性代数）

【CF932E】Perpetual Subtraction（NTT，线性代数）

题面

洛谷

CF

题解

设\(f_{i,j}\)表示\(i\)轮之后这个数恰好为\(j\)的概率。

得到转移：\(\displaystyle f_{i,j}=\sum_{k=j}^{n}f_{i-1,k}*\frac{1}{k+1}\)。

看成生成函数就有\(\displaystyle F_i(x)=\sum_{j=0}^{n}x^j\sum_{k\ge j}\frac{f_{i-1,k}}{k+1}\)。

把两维换过来就是\(\displaystyle \sum_{k=0}^{n}\frac{f_{i-1,k}}{k+1}\sum_{j=0}^k x^j=\sum_{k=0}^n\frac{f_{i-1,k}}{k+1}\frac{x^{k+1}-1}{x-1}=\frac{1}{x-1}\sum_{k=0}^n\frac{f_{i-1,k}}{k+1}(x^{k+1}-1)\)。

而\(\frac{1}{k+1}\)这个东西非常让人不爽，恰好发现后面有\(x^{k+1}，那么我们求导再积分\)

\(\displaystyle F_i(x)=\frac{1}{x-1}\int_{1}^x \sum_{k=0}^n f_{i-1,k}t^kdt=\frac{1}{x-1}\int_{1}^xF_{i-1}(t)dt\)

令\(\displaystyle G_i(x)=F_{i}(x+1)=\frac{1}{x}\int_{1}^{x+1}F_{i-1}(t)dt\)。

进一步有：\(\displaystyle G_i(x)=\frac{1}{x}\int_{0}^xG_{i-1}(t)dt=\sum_{j}\frac{g_{i-1,j}}{j+1}x^j\)。

那么，再把\(G(x)\)拆开，我们可以得到：\(g_{i,j}=\frac{g_{i-1,j}}{j+1}\)，所以可以知道\(g_{m,j}=\frac{g_{0,j}}{(j+1)^m}\)。

然后考虑\(g\)怎么求。

有：\(\displaystyle \sum_{i}g_ix^i=\sum_{i}f_i(x+1)^i=\sum_{i}f_i\sum_{j}{i\choose j}x^j\)，

所以有\(\displaystyle g_i=\sum_{j\ge i}{j\choose i}f_j\)，二项式反演有\(\displaystyle f_i=\sum_{j\ge i}(-1)^{j-i}{j\choose i}g_j\)

那么先用\(f_{0,j}\)求出\(g_{0,j}\)，乘上\(\frac{1}{(j-1)^m}\)之后再卷积算回去就行了。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<vector>
using namespace std;
#define ll long long
#define MOD 998244353
#define MAX 280280
inline ll read()
{
	ll x=0;bool t=false;char ch=getchar();
	while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();
	if(ch=='-')t=true,ch=getchar();
	while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();
	return t?-x:x;
}
int fpow(int a,int b){int s=1;while(b){if(b&1)s=1ll*s*a%MOD;a=1ll*a*a%MOD;b>>=1;}return s;}
int W[MAX],r[MAX];
void NTT(int *P,int len,int opt)
{
	int l=0,N;for(N=1;N<len;N<<=1)++l;
	for(int i=0;i<N;++i)r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<(l-1));
	for(int i=0;i<N;++i)if(i<r[i])swap(P[i],P[r[i]]);
	for(int i=1;i<N;i<<=1)
	{
		int w=fpow(3,(MOD-1)/(i<<1));W[0]=1;
		for(int k=1;k<i;++k)W[k]=1ll*W[k-1]*w%MOD;
		for(int p=i<<1,j=0;j<N;j+=p)
			for(int k=0;k<i;++k)
			{
				int X=P[j+k],Y=1ll*P[i+j+k]*W[k]%MOD;
				P[j+k]=(X+Y)%MOD;P[i+j+k]=(X+MOD-Y)%MOD;
			}
	}
	if(opt==-1)
	{
		reverse(&P[1],&P[N]);
		for(int i=0,inv=fpow(N,MOD-2);i<N;++i)P[i]=1ll*P[i]*inv%MOD;
	}
}
int n,m,a[MAX],b[MAX],jc[MAX],jv[MAX],inv[MAX];
int main()
{
	n=read();m=read()%(MOD-1);int N;for(N=1;N<=n+n;N<<=1);
	for(int i=0;i<=n;++i)a[i]=read();
	jc[0]=jv[0]=inv[0]=inv[1]=1;
	for(int i=2;i<=n+1;++i)inv[i]=1ll*inv[MOD%i]*(MOD-MOD/i)%MOD;
	for(int i=1;i<=n+1;++i)jc[i]=1ll*jc[i-1]*i%MOD;
	for(int i=1;i<=n+1;++i)jv[i]=1ll*jv[i-1]*inv[i]%MOD;
	for(int i=0;i<=n;++i)a[i]=1ll*a[i]*jc[i]%MOD,b[i]=jv[i];
	reverse(&a[0],&a[n+1]);
	NTT(a,N,1);NTT(b,N,1);
	for(int i=0;i<N;++i)a[i]=1ll*a[i]*b[i]%MOD;
	NTT(a,N,-1);
	for(int i=0;i<=n;++i)a[i]=1ll*a[i]*fpow(inv[n-i+1],m)%MOD*((i&1)?MOD-1:1)%MOD;
	for(int i=n+1;i<N;++i)a[i]=0;
	NTT(a,N,1);
	for(int i=0;i<N;++i)a[i]=1ll*a[i]*b[i]%MOD;
	NTT(a,N,-1);
	for(int i=0;i<=n;++i)a[i]=1ll*a[i]*((i&1)?MOD-1:1)%MOD*jv[n-i]%MOD;
	reverse(&a[0],&a[n+1]);
	for(int i=0;i<=n;++i)printf("%d ",a[i]);puts("");
	return 0;
}