prufer序列

介绍

　　其实是\(pr\ddot{u}fer\)序列

　　什么是prufer序列？

　　我们认为度数为\(1\)的点是叶子节点

　　有一颗无根树，每次选出编号最小的叶子节点，加到当前prufer序列的后面，然后删掉这个节点。直到剩下两个点为止。

　　这样会得到一个长度为\(n-2\)，每个数都是\(1\text{~}n\)的序列。

　　可以看出，每棵无根树都对应唯一一个序列。

　　我们发现，所有叶子节点都不在prufer序列中，一个度数为\(d\)的点在prufer序列中的出现次数是\(d-1\)。

　　那么怎样从一个prufer序列得到一棵树呢？

　　令\(A=\{1,2,\ldots,n\}\)

　　每次我们选择最小的在\(A\)中且不在prufer序列中的点\(x\)，连一条边到prufer序列的第一个点\(y\)，然后把\(x\)从\(A\)中删掉，把prufer序列的第一个数删掉，直到prufer序列为空。这样\(A\)中还会剩下两个数，在这两个点之间连边即可。

　　现在我们要证明每个prufer序列都唯一对应一棵树。

　　因为每个时候\(A\)的大小都比prufer序列的长度大\(2\)，所以每次一定能找到一个没在剩下的prufer序列里出现过的数。所以每个prufer序列都对应唯一一棵树。

　　prufer序列有\(n^{n-2}\)个，所以\(n\)个点带标号无根树就有\(n^{n-2}\)种。

应用

　　prufer是一种处理和树有关的计数问题的非常有用的工具。

　　可以把树的计数问题转成数列的计数问题。.

　　显然数列的计数比树的计数简单很多。

　　比如说，一个点的度数最多为\(d\)，那么这个点在prufer序列中的出现次数\(\leq d-1\)

　　比如说，生成一个由\(k\)棵树构成的森林，那么前面\(n-k-1\)个数可以是\(1\text{~}n\)，第\(n-k\)个数是这\(k\)个根中的一个，还要乘上选\(k\)个根的方案数，答案为\(\binom{n}{k}\times n^{n-k-1}\times k\)