P2050 [NOI2012]美食节

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先来讲一下P2053 [SCOI2007]修车（如果会做请跳过）

同一时刻有 \(N\) 位车主带着他们的爱车来到了汽车维修中心。维修中心共有 \(M\) 位技术人员，不同的技术人员对不同的车进行维修所用的时间是不同的。现在需要安排这 \(M\) 位技术人员所维修的车及顺序，使得顾客平均等待的时间最小。
说明：顾客的等待时间是指从他把车送至维修中心到维修完毕所用的时间。
\(2 \leq M \leq 9,1 \leq N \leq 60,1 \leq T \leq 1000\) 。

费用提前计算

注意到每位车主的等待时间除了跟自己的车所需的维修时间有关之外，还跟同一位技术人员之前维修所花的时间有关，这导致我们很难直观地建模。

但是仔细观察可以发现，一个人维修所花的时间，对同一位技术人员之后的维修造成的影响是已知且固定的。

那么，我们将费用提前计算，即，把第 \(i\) 位车主的车由第 \(j\) 位维修人员倒数第 \(k\) 个维修所花的时间（费用）当作 \(k \times t_{i,j}\) 。

从源点向每位车主连边，容量为 \(1\) ，费用为 \(0\) 。

每位维修人员拆成 \(n\) 个点，向汇点连边，容量为 \(1\) ，费用为 \(0\) 。

第 \(i\) 位车主向第 \(j\) 位维修人员拆成的第 \(k\) 个点连边，容量为 \(1\) ，费用为 \(k \times t_{i,j}\) 。

求最小费用最大流即可。

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此题为 P2053 [SCOI2007]修车 的数据加强版。
\(N \leq 40,M \leq 100\) 。

同 P2053 [SCOI2007]修车 的建图方式，但是硬求最小费用最大流只能拿到 \(60\) 分。

动态开点

起初每个厨师只拆成一个点，每次增广时，把当下的厨师拆出一个新点。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 6, M = 4e7 + 6, inf = 0x3f3f3f3f;
int n, m, s, t, ans, d[N], pre[N], now[N], num, p[N];
int Head[N], Edge[M], Leng[M], Cost[M], Next[M], tot = 1;
bitset<N> v;
int a[46][106];

inline void add(int x, int y, int z, int w) {
    Edge[++tot] = y;
    Leng[tot] = z;
    Cost[tot] = w;
    Next[tot] = Head[x];
    Head[x] = tot;
}

inline bool spfa() {
    v.reset();
    memset(d, 0x3f, sizeof(d));
    queue<int> q;
    q.push(s);
    v[s] = 1;
    d[s] = 0;
    now[s] = inf;
    while (q.size()) {
        int x = q.front();
        q.pop();
        v[x] = 0;
        for (int i = Head[x]; i; i = Next[i]) {
            int y = Edge[i], z = Leng[i], w = Cost[i];
            if (!z || d[y] <= d[x] + w) continue;
            d[y] = d[x] + w;
            now[y] = min(now[x], z);
            pre[y] = i;
            if (!v[y]) {
                q.push(y);
                v[y] = 1;
            }
        }
    }
    return d[t] != inf;
}

inline void upd() {
    ans += d[t] * now[t];
    int x = t;
    while (x != s) {
        int i = pre[x];
        Leng[i] -= now[t];
        Leng[i^1] += now[t];
        x = Edge[i^1];
    }
    x = Edge[pre[t]^1];
    p[++num] = p[x];
    add(num, t, 1, 0);
    add(t, num, 0, 0);
    for (int i = Head[x]; i; i = Next[i]) {
        int y = Edge[i], w = Cost[i^1];
        if (y == t) continue;
        w += a[y][p[x]];
        add(y, num, 1, w);
        add(num, y, 0, -w);
    }
}

int main() {
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        int x;
        scanf("%d", &x);
        add(0, i, x, 0);
        add(i, 0, 0, 0);
    }
    num = t = n + m + 1;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = 1; j <= m; j++) {
            int x;
            scanf("%d", &x);
            a[i][j] = x;
            add(i, n + j, 1, x);
            add(n + j, i, 0, -x);
        }
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        add(n + i, t, 1, 0);
        add(t, n + i, 0, 0);
        p[n+i] = i;
    }
    while (spfa()) upd();
    cout << ans << endl;
    return 0;
}