Gym - 101550A Artwork (并查集在线做法)

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题意：给你一个n*m的网格图，初始时格点全白，每次可以将一段连续的格点涂黑。求出每次操作之后白色连通块的数量。

看了看网上的题解，基本全是离线的做法。其实这道题是有在线的做法的，利用了对偶图的性质，适用于任意平面图（大概是）。

（ps：本题思路是我受thu叉院神犇wzf在wannafly冬令营上提到的对偶图思想的启发而想出来的，先膜为敬~~）

我们可以反过来考虑黑格的连通性。假如我们在涂黑某个格点的时候，把两个分离的黑格“连了起来”，这时有两种可能的情况：

1.两黑格在同一连通分量。此时如果将两黑格连接，必将形成一个回路，并且产生一个新的白色连通块。（回路中包着的区域就是一个白色连通块）

2.两黑格不在同一连通分量。此时将两黑格连接不会形成回路，因而也不会产生新的白色连通块。

注意：

1.白格是四连通的，因此对偶图中的黑格应当是八连通的。

2.上面的“连通分量”指的是外侧的连通分量，而不是内侧的连通分量。

例如，假如我们面临下面的状况：

此时，黑格3,4,5已经相连，因此需要把它们看成一个整体，而1,2各自分离，需要单独考虑。我们试图将中间的白色格子涂黑，假设1,2,3,4,5在外侧区域同属于一个连通块，那么中间的白色连通块数量将由原来的一个拆分成3个，分别夹在(1,2),(1,3)和(2,5)之间。

因此我们可以总结出规律：把与中间格点相邻的8个格子中所有的黑格按照顺时针或者逆时针顺序排成一列，把相互八连通的格子放在同一个内侧连通分量中（这个过程可以用另一个并查集实现）。我们把内侧连通分量不同的两个相邻格子两两合并，如果两个格子恰好在外侧同属于一个连通分量，那么必将多出一个“包起来”的白色连通块，此时答案+1。

注意将最后一个连通分量与第一个连通分量合并时不要计算对答案的贡献，因为合并后，原来中间的白色连通块就“消失”了，而它不应该消失，为了不让它消失，需要把这个连通块归结到一个未合并的连通区域中，因此需要保留一个白色连通区域作为原来中间白色连通块的新的“归属”。

最后需要注意的就是如果中间的白格的上下左右四个方向都是黑格，此时中间的白格单独属于一个连通块，在涂黑之后不能归结到任何一个区域，直接就消失了，此时答案应当-1。

还有就是在初始时应当把网格的四周涂黑，简化判断。

 #include<bits/stdc++.h>
 using namespace std;
 typedef long long ll;
 const int N=+;
 const int dx[]= {-,,,,,,-,-};
 const int dy[]= {-,-,-,,,,,};
 int n,m,nq,fa[N*N],qx[],qy[],fa2[],n2,ans,a[N][N];
 int fd(int x,int* fa) {return ~fa[x]?fa[x]=fd(fa[x],fa):x;}
 bool mg(int x,int y,int* fa) {
     int fx=fd(x,fa),fy=fd(y,fa);
     if(fx==fy)return ;
     else {fa[fx]=fy; return ;}
 }
 bool adj(int x1,int y1,int x2,int y2) {//判断是否8连通
     return abs(x1-x2)+abs(y1-y2)==||(abs(x1-x2)==&&abs(y1-y2)==);
 }
 int id(int x,int y) {return x*(m+)+y;}//给格点标号
 void solve(int x,int y) {
     if(a[x][y])return;
     a[x][y]=,n2=;
     for(int i=; i<; ++i) {
         int xx=x+dx[i],yy=y+dy[i];
         if(a[xx][yy])qx[n2]=xx,qy[n2++]=yy;
     }//把周围相邻的黑格按顺序扒出来
     for(int i=; i<n2; ++i)fa2[i]=-;
     for(int i=; i<n2; ++i)
         if(adj(qx[i],qy[i],qx[(i+)%n2],qy[(i+)%n2]))mg(i,(i+)%n2,fa2);//合并内侧相邻黑格
     for(int i=; i<n2-; ++i)
         if(fd(i,fa2)!=fd(i+,fa2)&&fd(i+,fa2)!=fd(,fa2)
                 &&!mg(id(qx[i],qy[i]),id(qx[i+],qy[i+]),fa))++ans;//如果内侧不连通的黑格在外侧连通，则答案+1
     if(a[x][y-]&&a[x][y+]&&a[x-][y]&&a[x+][y])--ans;//中间的格子被包围，答案-1
     if(n2)mg(id(qx[],qy[]),id(x,y),fa);//将周围的黑格与中间的格子合并
 }

 int main() {
     scanf("%d%d%d",&n,&m,&nq);
     memset(fa,-,sizeof fa);
     for(int i=; i<=n+; ++i)a[i][]=a[i][m+]=,fa[id(i,)]=fa[id(i,m+)]=;
     for(int i=; i<=m+; ++i)a[][i]=a[n+][i]=,fa[id(,i)]=fa[id(n+,i)]=;//将边界格子涂黑并放在同一个连通块
     fa[]=-,ans=;
     while(nq--) {
         int x1,y1,x2,y2;
         scanf("%d%d%d%d",&x1,&y1,&x2,&y2);
         if(x1<x2) for(int i=x1; i<=x2; ++i)solve(i,y1);
         else for(int i=y1; i<=y2; ++i)solve(x1,i);
         printf("%d\n",ans);
     }
     return ;
 }