Link-cut-tree 学习记录 & hdu4010

网上的lct一抓一大把,所以我也不再写什么讲解了,只写一写自己的看法.

Link-cut-tree 是用于维护动态树的一种数据结构

所谓动态树就是一片存在边的添加与删除的森林中的一棵树

所以我们要快速处理加边和删边

关于具体的Preferred Child和Preferred Path还有Preferred Edge什么的...就不多说了

不过关于link-cut-tree还有比较重要,刚开始易混淆的地方:

• LCT实际上维护的是两棵树,一棵是原树,另一棵是辅助树.其中原树就是我们要维护的树,而辅助树则是我们根据Preferred Path而维护的Splay森林.即每条Preferred Path都是一棵Splay.
• 所以我们有:
• • 原树与辅助树的结构并不相同
• • 辅助树的根节点不等于原树的根节点
• • 辅助树中的father不等于原树中的father

对LCT的上述性质比较了解后,这里来介绍一下LCT的基本操作.

---

基本操作

Access(u) :

• 将原树上u到根的路径全部变为Prefered Edge,也就是操作之后将会出现一条同时包括原树的根与原树上节点u的Prefferd Path.
• 将在原树上到根所经过的所有辅助树的节点取出,构成一棵新的Splay.也就是说,这时原树中的根与原树着的u共处于同一棵辅助树中.

inline Node* Access(Node *u){
	for(Node *v=null;u != null;v=u,u=u->fa)
		splay(u),u->ch[1] = v,u->update();
	return u;
}

findRoot(u) :

• 找到原树中u所在树的根节点(不要忘了我们维护的是一片森林)
• 我们知道根节点的深度一定最小,所以我们Access(u)后,u一定与原树中的根节点同处于一棵Splay(辅助树)中.所以我们知道根节点一定是u所在splay的最左节点.所以我们splay(u)然后找到最靠左的节点即可.
• 注意 : 为了保证均摊复杂度为\(O(logn)\)这里仍需要对找到的根rt进行Splay

inline Node* getRt(Node *u){
	Access(u);splay(u);
	while(u->ch[0] != null) u = u->ch[0];
	splay(u);return u;
}

makrRoot(u) :

• 将原树中的u作为原树的根节点,
• 由于原树与辅助树的树形结构并不相同,这里不能直接Access(u),splay(u)就完事.由于splay中是按照deep为关键字排序的,所以在辅助树中无论以那个节点为根,都不会改变原树中的根,因为Splay过程中节点的相对位置不会进行变化,而根的dep最小,一定时时刻刻处于最左端.所以我们可以在Access(u),splay(u)后对u打上翻转标记,表示让u所在的辅助树的根节点进行反转.

我们来分析一下上述操作的正确性:

首先我们知道:

• 所有深度大于u的节点一定都不会被存放在这棵辅助树中

所以我们就发现: Splay(u)后一定不存在任何一个节点在u的右侧

所以现在我们只考虑u左面接上了一条链的情况.(其他情况一定可以转化成链)

这时候我们发现如果我们选择以u作为根,那么这条链上节点的深度关系会中心对称地变化

所以我们在这条链上打上翻转标记即可.

inline void makeRt(Node *u){
	Access(u);splay(u);u->tag ^= 1;
}

link(u,v) :

• 将u接到v的下面
• 实现这个操作有两一种方法:
• • 方法一: makeroot(u),u->fa = v;
• • 方法二: Access(u),splay(u),u->fa = v;
• 不要管第二种方法了,明显是不对的... ...

这个操作的问题应该不大...

inline void link(Node *u,Node *v){
	makeRt(u);u->fa = v;
}

cut(u,v)

• 删除u与v之间的边.
• makeRoot(u),Access(v),splay(v),v->ch[0] = v->ch[0]->fa = 0;

inline void cut(Node *u,Node *v){
	makeRt(u);Access(v);splay(v);
	v->ch[0] = v->ch[0]->fa = null;
	v->update();
}

如果是删除u与其father的连边呢?

• Access(u),splay(u),u->ch[0] = u->ch[0]->fa = 0;

---

其他操作

get(u,v):

• 取出原树上u->v这一条链并恰好将其存于一棵辅助树中,并返回这棵辅助树的根节点.
• makrRoot(u),Access(v),splay(v) 此时v即为所求

inline Node* get(Node *u,Node *v){
	makeRt(u);Access(v);splay(v);
	return v;
}

lca(rt,u,v):

• 求出以rt为根时的u和v的lca(最近公共祖先)
• makeroot(rt),Access(u),Access(v),此时Access(v)范围值即为所求

inline Node* lca(Node *rt,Node *u,Node *v){
	makeRt(rt);Access(u);return Access(v);
}

更多操作等会会了再写上来

模板:

hdu 4010 Link-Cut-Tree

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
inline void read(int &x){
	x=0;char ch;bool flag = false;
	while(ch=getchar(),ch<'!');if(ch == '-') ch=getchar(),flag = true;
	while(x=10*x+ch-'0',ch=getchar(),ch>'!');if(flag) x=-x;
}
const int maxn = 600010;
struct Node{
	Node *ch[2],*fa;
	int w,mx,lazy,tag;
	void update();
}*null,*it,mem[maxn];
void Node::update(){
	mx = max(max(ch[0]->mx,ch[1]->mx),w);
}
inline void init(){
	it = mem;null = it++;
	null->ch[0] = null->ch[1] = null->fa = null;
	null->w = null->mx = null->lazy = null->tag = 0;
}
inline void newNode(int val){
	Node *p = it++;p->w = p->mx = val;
	p->ch[0] = p->ch[1] = p->fa = null;
	p->lazy = p->tag = 0;
}
inline void push_down(Node *p){
	if(p == null) return;
	if(p->lazy != 0){
		if(p->ch[0] != null){
			p->ch[0]->w += p->lazy;
			p->ch[0]->mx += p->lazy;
			p->ch[0]->lazy += p->lazy;
		}
		if(p->ch[1] != null){
			p->ch[1]->w += p->lazy;
			p->ch[1]->mx += p->lazy;
			p->ch[1]->lazy += p->lazy;
		}
		p->lazy = 0;
	}
	if(p->tag != 0){
		if(p->ch[0] != null) p->ch[0]->tag ^= 1;
		if(p->ch[1] != null) p->ch[1]->tag ^= 1;
		swap(p->ch[0],p->ch[1]);
		p->tag = 0;
	}
}
inline void rotate(Node *p,Node *x){
	int k = p == x->ch[1];
	Node *y = p->ch[k^1],*z = x->fa;
	if(z->ch[0] == x) z->ch[0] = p;
	if(z->ch[1] == x) z->ch[1] = p;
	if(y != null) y->fa = x;
	p->fa = z;p->ch[k^1] = x;
	x->fa = p;x->ch[k] = y;
	x->update();p->update();
}
inline bool isroot(Node *p){
	return (p->fa->ch[0] != p && p->fa->ch[1] != p);
}
Node* sta[maxn];int top;
inline void splay(Node *p){
	push_down(p);
	while(!isroot(p)){
		Node *x = p->fa,*y = x->fa;
		push_down(y);push_down(x);push_down(p);
		if(isroot(x)) rotate(p,x);
		else if((p == x->ch[0])^(x == y->ch[0])) rotate(p,x),rotate(p,y);
		else rotate(x,y),rotate(p,x);
	}p->update();
}
inline Node* Access(Node *u){
	for(Node *v=null;u != null;v=u,u=u->fa)
		splay(u),u->ch[1] = v,u->update();
	return u;
}
inline void makeRt(Node *u){
	Access(u);splay(u);u->tag ^= 1;
}
inline void link(Node *u,Node *v){
	makeRt(u);u->fa = v;
}
inline void cut(Node *u,Node *v){
	makeRt(u);Access(v);splay(v);
	v->ch[0] = v->ch[0]->fa = null;
	v->update();
}
inline Node* getRt(Node *u){
	Access(u);splay(u);
	while(u->ch[0] != null) u = u->ch[0];
	splay(u);return u;
}
inline void inc(Node *u,Node *v,int w){
	makeRt(u);Access(v);splay(v);
	v->lazy += w;v->w += w;v->mx += w;
}
inline int query(Node *u,Node *v){
	makeRt(u);Access(v);splay(v);
	return v->mx;
}
int a[maxn],b[maxn];
int main(){
	int n;
	while(scanf("%d",&n) != EOF){
		init();
		for(int i=1;i<n;++i) read(a[i]),read(b[i]);
		for(int i=1,x;i<=n;++i){
			read(x),newNode(x);
		}
		for(int i=1;i<n;++i) link(mem+a[i],mem+b[i]);
		int m;read(m);
		int op,x,y,z;
		while(m--){
			read(op);read(x);read(y);
			if(op == 1){
				if(getRt(mem+x) == getRt(mem+y)) puts("-1");
				else link(mem+x,mem+y);
			}else if(op == 2){
				if(getRt(mem+x) != getRt(mem+y) || x == y) puts("-1");
				else cut(mem+x,mem+y);
			}else if(op == 3){
				z = x;x = y;read(y);
				if(getRt(mem+x) != getRt(mem+y)) puts("-1");
				else inc(mem+x,mem+y,z);
			}else if(op == 4){
				if(getRt(mem+x) != getRt(mem+y)) puts("-1");
				else printf("%d\n",query(mem+x,mem+y));
			}
		}puts("");
	}
	getchar();getchar();
	return 0;
}