[cf839d]Winter is here容斥原理

题意：给定一个数列${a_i}$，若子序列长度为$k$，最大公约数为$gcd$，定义子序列的权值为$k*\gcd (\gcd  > 1)$。求所有子序列的权值和。 答案对10^9+7取模。

解题关键：容斥原理求序列中各$gcd$的个数，亦可用莫比乌斯函数。

逆序求的话，前面直接减后面的个数，在后面一项就相当于相加了，如此往复。

关于知道所有$gcd$为$n$的个数之后答案的求法：

法一：

$\begin{array}{l}
1C_n^1 + 2C_n^2 + ... + nC_n^n\\
= n(C_{n - 1}^1 + C_{n - 1}^2 + ... + C_{n - 1}^{n - 1})\\
= n{2^{n - 1}}
\end{array}$

法二：

$\begin{array}{l}
[{(x + 1)^n}]' = n{(x + 1)^{n - 1}}\\
{(x + 1)^n} = \sum\limits_{i = 1}^n {C_n^i{x^i}} \\
n{(x + 1)^{n - 1}} = \sum\limits_{i = 1}^n {C_n^ii{x^{i - 1}}}
\end{array}$

法三：逆序相加

容斥解法：

 #include<bits/stdc++.h>
 using namespace std;
 typedef long long ll;
 const int mod=1e9+;
 #define inf 0x3f3f3f3f
 ll c[],pw[],sum[];
 int main(){
     ll n,x,mx=-inf;
     cin>>n;
     pw[]=;
     for(int i=;i<=n+;i++) pw[i]=pw[i-]*%mod;
     for(int i=;i<n;i++) cin>>x,c[x]++,mx=max(mx,x);//hash一下
     ll ct;
     ll ans=;
     for(int i=mx;i>;i--){
         ct=;
         for(int j=i;j<=mx;j+=i){
             ct=(ct+c[j])%mod;
             sum[i]-=sum[j];
         }
         sum[i]=(sum[i]+ct*pw[ct-]%mod+mod)%mod;
         ans=(ans+sum[i]*i%mod+mod)%mod;
     }
     cout<<ans<<"\n";
     return ;
 }

莫比乌斯反演解法：

 #include<bits/stdc++.h>
 #define inf 0x3f3f3f3f
 using namespace std;
 typedef long long ll;
 const int mod=1e9+;
 ll mu[],c[],cnt[],pw[],g[];
 void sievemu(int n){
     mu[]=;
     for(int i=;i<=n;i++){
         for(int j=i+i;j<=n;j+=i){
             mu[j]-=mu[i];
         }
     }
 }

 int main(){
     sievemu();
     ll n,x,mx=-inf;
     cin>>n;
     pw[]=;
     for(int i=;i<=n;i++) pw[i]=pw[i-]*%mod;
     for(int i=;i<n;i++) cin>>x,c[x]++,mx=max(mx,x);
     for(int i=;i<=mx;i++){
         ll ss=;
         for(int j=i;j<=mx;j+=i){
             ss+=c[j];
         }
         if(ss) cnt[i]=ss*pw[ss-]%mod;
     }
     //计算gcd倍数的个数

     //对答案进行莫比乌斯反演
     ll ans=;
     for(int i=;i<=mx;i++){
         for(int j=i;j<=mx;j+=i){
             g[i]=(g[i]+cnt[j]*mu[j/i]%mod+mod)%mod;
         }
         ans=(ans+i*g[i]%mod+mod)%mod;
     }
     cout<<ans<<"\n";
     return ;
 }