逻辑斯蒂回归3 -- 最大熵模型之改进的迭代尺度法(IIS)

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IIS的推导过程

IIS是一种最大熵学习模型的最优化算法。其推导步骤例如以下：

目标是通过极大似然预计学习模型參数求对数似然函数的极大值 。

IIS的想法是：如果最大熵模型当前的參数向量是λ = (λ1, λ2, …, λn)^T，我们希望找到一个新的參数向量λ +
δ= (λ1+δ1, λ2+δ2, …, λn+δn)^T。使得模型的对数似然函数值增大。假设能有这样一种參数向量更新的方法F：λ ->λ+δ，那么就能够反复使用这一方法，直至找到对数似然函数的最大值。

对于给定的经验分布，模型參数从λ到λ+δ，对数似然函数的该变量是

PS：上面 >= 的推导是依据不定时：-loga >= 1 - a， a > 0

将上述求得的结果(最后一行)记为A(δ| λ)，于是有：

L( λ+ δ ) – L( λ ) >= A(δ | λ)

为了进一步减少这个下界，即缩小A(δ | λ)。引入一个变量：

由于fi是二值函数，故f^#(x,y)表示的是全部特征(x, y)出现的次数，然后利用Jason不等式，可得：

我们把上述式子求得的A(δ | λ)的下界记为B(δ | λ)，即：

相当于B(δ | λ)是对数似然函数添加量的一个新的下界，可记作：L(λ+δ)-L(λ)  >= B(δ | λ)。

接下来，对B(δ| λ)求偏导，得：

此时得到的偏导结果仅仅含δ，除δ之外不再含其他变量，令其为0，可得：

从而求得δ，问题得解。

IIS算法描写叙述

         输入：

特征函数f1, f2, …,fn；经验分布，模型P_λ(y|x)

         输出：

最优參数值λ_i^*。最优模型P_λ。

         解：

1，对全部i∈{1, 2, …, n}。取初值λi = 0

2，对每一i∈{1, 2, …, n}：

a)令δi是例如以下方程(这里将其称作方程一)

的解，这里：

b)更新λi的值：λi <- λi + δi

3，假设不是全部λi都收敛，则反复步骤2。

这一算法的关键步骤是a)。即求解a)中方程的δi。

假设f^#(x, y) 是常数。即对不论什么x, y。有f^#(x,y) = M，那么δi能够显示的表示成：

假设f^#(x, y) 不是常数，那么必须通过数值计算求δi，而简单有效的方法是牛顿法。以g(δi) = 0，表示上面的方程一，牛顿法通过迭代求的δi，使得g(δi^*)= 0。迭代公式是：

求得了δ。便相当于求得权值λ，终于将λ 回代到下式中：

即得到最大熵模型的最优预计。

參考：

http://blog.csdn.net/v_july_v/article/details/40508465?

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