【算法】Floyd-Warshall算法（任意两点间的最短路问题）（判断负圈）

求解所有两点间的最短路问题叫做任意两点间的最短路问题。

可以用动态规划来解决，

d[k][i][j] 表示只用前k个顶点和顶点i到顶点j的最短路径长度。

分两种情况讨论：

1.经过顶点k,  d[k][i][j] = d[k-1][i][j]。  即等于只用前k-1个顶点时的最短路径

2.不经过顶点k,  d[k][i][j] = d[k-1][i][k] + d[k-1][k][j]。  即等于i离k的最路路径+j离k的最短路径。

可以得到递推式 d[k][i][j]  =  min( d[k-1][i][j] , d[k-1][i][k] + d[k-1][k][j] );

也有二维的表示法：

d[i][j] = min( d[i][j] , d[i][k] + d[k][j] );

精简版算法模板：

#include <bits\stdc++.h>
using namespace std;
#define INF 2147483647
#define MAX_V 1000
#define MAX_E 2000 

int d[MAX_V][MAX_V]; // d[u][v]表示边e=(u,v)的权值（不存在时设为INF，不过d[i][i] = 0）
int V;             //  顶点数 

void warshall_floyd(){

    ;k < V; k++){
        ;i < V; i++){
            ;j < V; j++){
                if(d[i][k] != INF && d[k][j] != INF)
                    d[i][j] = min(d[i][j], d[i][k] + d[k][j]);
            }
        }
    }
}

int main(){
} 

负圈的判断：

判断负圈只用判断是否有 d[i][i] 为负数即可。