nyoj--61--传纸条（一）(动态规划)

传纸条（一）

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难度：5

描述

小渊和小轩是好朋友也是同班同学，他们在一起总有谈不完的话题。一次素质拓展活动中，班上同学安排做成一个m行n列的矩阵，而小渊和小轩被安排在矩阵对角线的两端，因此，他们就无法直接交谈了。幸运的是，他们可以通过传纸条来进行交流。纸条要经由许多同学传到对方手里，小渊坐在矩阵的左上角，坐标(1,1)，小轩坐在矩阵的右下角，坐标(m,n)。从小渊传到小轩的纸条只可以向下或者向右传递，从小轩传给小渊的纸条只可以向上或者向左传递。



在活动进行中，小渊希望给小轩传递一张纸条，同时希望小轩给他回复。班里每个同学都可以帮他们传递，但只会帮他们一次，也就是说如果此人在小渊递给小轩纸条的时候帮忙，那么在小轩递给小渊的时候就不会再帮忙。反之亦然。

还有一件事情需要注意，全班每个同学愿意帮忙的好感度有高有低（注意：小渊和小轩的好心程度没有定义，输入时用0表示），可以用一个0-1000的自然数来表示，数越大表示越好心。小渊和小轩希望尽可能找好心程度高的同学来帮忙传纸条，即找到来回两条传递路径，使得这两条路径上同学的好心程度之和最大。现在，请你帮助小渊和小轩找到这样的两条路径。

输入

第一行输入N(0<N<100)表示待测数据组数。

每组测试数据输入的第一行有2个用空格隔开的整数m和n，表示班里有m行n列（2<=m,n<=50）。

接下来的m行是一个m*n的矩阵，矩阵中第i行j列的整数表示坐在第i行j列的学生的好心程度（不大于1000）。每行的n个整数之间用空格隔开。

输出

每组测试数据输出共一行，包含一个整数，表示来回两条路上参与传递纸条的学生的好心程度之和的最大值。

样例输入

1
3 3
0 3 9
2 8 5
5 7 0

样例输出

34

借用别人的题解，人家的真是挺不错的

NYOJ 61 传纸条是一个双线DP的题：

从矩阵的左上角（1,1）点到矩阵的右下角（m,n)点找到两条不相交的路径使其值最大，

题中是从（1,1）到（m,n)走一次，再从（m,n)到（1,1）走一次，我们可以等价变形

一下，变为：同时从（1,1）走向(m,n)找两条路，且这两条路不相交，同时走！

假设有两个人在走，一个人的坐标为（x1,y1),另一个人的坐标为（x2,y2)，有题中规定

只能向下或向右走，则可得状态转移方程：

f(x1,y1,x2,y3)  =  max { f(x1-1,y1,x2-1,y2)  ,f(x1-1,y1,x2,y-1),  f(x1,y1-1,x2-1,y2),  f(x1,y1-1,x2,y2-1)} + map[x1][y1] + map[x2][y2]

(map中存放同学的好心度，相当于权值)

这样写的话  时间复杂度会是O(n^4)，比较大容易超时，改进：

因为 两个人是同时走的所以 每次都是同时移动一格：因此有   x1+y1==x2+y2 == k

则状态方程可以改为：

f(k,x1,x2) = ma{  f(k-1,x1,x2),  f(k-1,x-1,x2) ,f(k-1,x1,x2-1),  f(k-1,x1-1,x2-1)  }  + map[x1][k-x1] + map[x2][k-x2]

补充：其实只需要走m+n-1步，因为这是一个圈，所以最后输出的是前一步的

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
int m,n;
int a[201][201][201];
int map[1010][1010];
int solve()
{
	int x1,x2,y1,y2,k;
	for(int k=2;k<=m+n;k++)
	for(x1=1;x1<=m;x1++)
	for(x2=1;x2<=m;x2++)
	{
		y1=k-x1;
		y2=k-x2;
		if(y1==y2||y1<0||y2<0||y1>n||y2>n)
		continue;
		a[k][x1][x2]=max(a[k-1][x1][x2],max(a[k-1][x1-1][x2],
		max(a[k-1][x1][x2-1],a[k-1][x1-1][x2-1])))+map[x1][y1]+map[x2][y2];
	}
	return a[m+n-1][m][m-1];
}
int main()
{
	int t;
	scanf("%d",&t);
	while(t--)
	{
		scanf("%d%d",&m,&n);
		for(int i=1;i<=m;i++)
		for(int j=1;j<=n;j++)
		scanf("%d",&map[i][j]);
		printf("%d\n",solve());
	}
	return 0;
}