hdu 1024 最大m子段和

注：摘的老师写的

最大m子段和问题

以-1 4 -2 3 -2 3为例
最大子段和是：6
最大2子段和是：4+（3-2+3）=8
所以，最大子段和和最大m子段和不一样，不能用比如先求一个最大子段和，从序列中去掉已求子段，再求下一个最大子段和的方法，这种方法有点贪心的味道，但是不行。所以，还得用动态规划。

1.基本思路：
  首先，定义数组num[n],dp[m][n]. 
  num[n]用来存储n个整数组成的序列. dp[m][n]代表n个整数序列求m个子段和。

按照分阶段的思想，我们首先考虑最后一项，即num[n].num[n]属于最大m子段和只有两种情况，

如果用搜索树表示的话，只有两个分支，

一个是属于最大m子段和（肯定是第m子段），

另一个是不属于（即最大m子段和在前n-1个整数中构成）。
  先说属于情况，即第m子段由num[n]结尾，又分两种情况：要么自己独立成一个子段，要么与前边以num[j-1]结尾的子段联合。所以，我们用b[m][n]表示最后一个子段以num[n]项结尾的最大m子段和。则
b[m][n]=max{b[m][n-1]+num[n],b[m-1][t]+num[n]}，其中后一项表示num[n]自己成一段，前面t个整数（以每个整数为子段最后一项）（1<=t<=n-1）。
  再说不属于情况，则dp[m][n]=dp[m][n-1]，表示由n-1个整数构成m个子段和最大。（不包括num[n]）
  综合这两种情况：
  dp[m][n]=max{b[m][n-1]+num[n],b[m-1][t]+num[n],dp[m][n-1]}
  推广一下：
  dp[i][j]=max{b[i][j],dp[m][n-1]}=max{b[i][j-1]+num[j],b[i-1][t]+num[j],dp[i][j-1]}
  dp[0][1]=dp[1][0]=0
  b[0][1]=b[1][0]=0
  
  以下，验证一下：
  以4 -2 3 -2 3为例
  dp[1][1]=max{b[1][0]+4,b[0][0]+4,0}=4  b[1][1]=4
  dp[1][2]=max{b[1][1]-2,(b[0][0],b[0][1])+4,dp[1][1]}=4    b[1][2]=4-2=2
  dp[1][3]=max{b[1][2]+3,(b[0][0],b[0][1],b[0][2])+4,dp[1][2]}=max{5,4,4}=5   b[1][3]=5
  dp[1][4]=max{b[1][3]-2,(b[0][0],b[0][1],b[0][2],b[0][3])+4,dp[1][3]}=max{3,4,5}=5  b[1][4]=3
  dp[1][5]=max{b[1][4]+3,(b[0][0],b[0][1],b[0][2],b[0][3],b[0][4])+4,dp[1][4]}=max{6,4,5}=6  b[1][5]=6

dp[2][1]=0  b[2][1]=0
  dp[2][2]=max{b[2][1]-2,(b[1][0],b[1][1])-2,dp[2][1]}=max{-2,2,0}=2  b[2][2]=2
  dp[2][3]=max{b[2][2]+3,(b[1][0],b[1][1],b[1][2])+3,dp[2][2]}=max{5,7,2}=7  b[2][3]=7
  dp[2][4]=max{b[2][3]-2,(b[1][0],b[1][1],b[1][2],b[1][3])-2,dp[2][3]}=max{5,3,7}=7  b[2][4]=5
  dp[2][5]=max{b[2][4]+3,(b[1][0],b[1][1],b[1][2],b[1][3],b[1][4])+3,dp[2][4]}=max{8,8,7}=8  b[2][5]=8
  
  验证表明，分析正确。

但是，我们会发现，当n非常大时，这个算法的时间复杂度和空间复杂度是非常高的,时间复杂度近似为O(m*n^2),
  空间复杂度近似为O(m*n).因此，我们需要优化算法来降低时间复杂度和空间复杂度.

 #include<iostream>
 #include<algorithm>
 #include<cstring>
 using namespace std;
 int curr[],pre[],arr[];
 const int MAX = -;
 int sum = ;
 int main()
  {
     int m,n;
     while(cin>>m>>n)
     {
         memset(curr,,sizeof(curr));
         memset(pre,,sizeof(pre));
         for(int i=;i<=n;i++)
             cin>>arr[i];
         int j=;
         for(int i=;i<=m;i++)
         {
             sum = MAX;
             for(j=i;j<=n;j++)
             {
                 curr[j] = max(curr[j-],pre[j-])+arr[j];
                 pre[j-] = sum;
                 sum = max(sum,curr[j]);
             }
             pre[j-] = sum;

         }
         cout<<sum<<endl;
     }
 }