[洛谷P3927]SAC E#1 - 一道中档题 Factorial

题目大意：求$n!$在$k(k>1)$进制下末尾0的个数。

解题思路：一个数在十进制转k进制时，我们用短除法来做。容易发现，如果连续整除p个k，则末尾有p个0。

于是问题转化为$n!$能连续整除几个k。

我们先给k分解质因数，然后对于每个质因数，求出$n!$里有多少个质因数，然后如果k里有x个这个质因数，则求出的结果除以x。最后的答案为这些结果的最小值。

如何求$n!$里包含质因数的个数？由于$n!$是1乘到n，所以每p(p是质数)个数里一定有一个p，然后这些数中每p个里一定还有个p，以此类推即可算出。

时间复杂度约是$\theta(\sqrt{k}\log n)$。

C++ Code：

#include<cstdio>
using namespace std;
long long n,k,p[200002],c[200002],ans;
int cnt;
int main(){
	scanf("%lld%lld",&n,&k);
	cnt=0;
	for(long long i=2;i*i<=k;++i)
	if(k%i==0){
		p[++cnt]=i;
		c[cnt]=0;
		while(k%i==0){
			++c[cnt];
			k/=i;
		}
	}
	if(k>1){
		p[++cnt]=k;
		c[cnt]=1;
	}
	ans=20000000000000;
	for(int i=1;i<=cnt;++i){
		long long t=0,now=n;
		while(now)t+=now/=p[i];
		t/=c[i];
		if(t<ans)ans=t;
	}
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}