浅谈"$fake$树"——虚树

树形$dp$利器——"$fake$"树（虚树$qwq$）

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 前置知识：

$1、$$dfs$序

$2、$倍增法或者树链剖分求$lca$

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 问题引入：

在许多的树形动规中，很多时候点特别多，而又有一些毒瘤操作，导致很多时候，原本优秀的算法变得很鸡肋，而虚树就是解决这种问题的一把利器

那让我们来看一道例题：

洛谷P2495 [sdoi2011]消耗战

一句话题意：给定一棵$n$个节点的树，$m$次询问，每次给出几个点，要你删除若干条边使得这些点不和根节点联通

我们看到数据范围：

$n<=2e5,\sum k<=5e5$

 考虑朴素的$dp$，状态和方程都很好想，大概就是：

对于一个点，可以删除它到根节点的边的最小值，或者是把子树中连向标记点的链中最小的边删除（当然还要考虑当前点是不是标记点等因素，不过这不是重点$qwq$）

那么一次询问就是$O(n)$，看上去确实很优秀了，但是有$m(m<=5e5)$次询问，那么总时间复杂度就是$O(nm)$的算法了，$m$大一点就会炸得飞起，然而其实每一次我们都遍历了每一个节点，但其实只需要遍历我们需要的关键点就行了，我们看到$\sum k<=5e5$，这也就告诉了我们，如果总的时间复杂度跟$\sum k$有关的话，就可以通过，而虚树则可以帮助我们把询问点等关键点提取出来，那么总共就只需要遍历少许关键点，最后的时间复杂度就跟$\sum k$有关啦

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什么是虚树？

在我的理解下，其实就是从原有的树中，把需要的关键节点和边提取出来后组成的新树，就叫虚树

虚树上的点一般有被询问的点，以及它们互相的$lca$和根节点 ，而边则存的是最小值，最大值，边权和等，视情况而定。

那么根据上面的题意，我们就可以用虚树剔除对结果无意义的点，避免过多的重复计算，从而降低时间复杂度

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虚树的构建：

我们维护一个栈，维护的是一条以栈顶元素为端点的一条链（最右链）

 

首先，先把整棵树$dfs$一遍，求出每个节点的$dfs$序，顺便求出深度，举个例子，假如原树为：

 

其中黑色点为询问点，那么我们先把深度和$dfs$序求出来，如下图：

红色数字是$dfs$序，深度的话肉眼看就行了，怕图片有点混乱就省略了

一开始呢，我们求出$dfs$序后，把所有关键点按照$dfs$从小到大排序

 

具体做法（如果不懂请跟着后文图解一起思考）：

假设栈顶元素为$p$，而要插入的关键节点为$x$，求出它们的$lca$，那么会有下列两种情况：

 

$1、$$lca$是$p$：如下图：

 

 

$2、$$p,x$分别位于$lca$的两棵子树上，如下图：

你可能会问， 那么为什么没有$lca$是$x$的情况呢？

 

我们思考：我们 遍历的顺序是按照$dfs$序来的，那么设对于每个点$i$的$dfs$序为$dfn[i]$，那么会有$dfn[p]<dfn[x]$，但是如果$lca$是$x$的话，$x$的$dfs$序肯定小于$p$点的，互相矛盾，所以不成立

 

那么对于上面第一种情况，我们直接将$x$点入栈即可，为什么呢？

 

我们思考$lca==p$的情况告诉了我们什么信息：

它告诉我们我们本来维护的是（下文数字都是图中$dfs$序）$1-2$这条链，而现在我们要把$4$维护进去，然而因为$lca==p$，我们发现我们可以直接维护$1-2-4$这条链，所以直接压栈即可

 

例如压栈后，栈内（$dfs$序）情况如下：

就是在维护下图中红色这条链（根节点一开始就在栈内）：

 

而对于第二种情况，就比较复杂了，我们设栈顶第二个元素为$q$，那么我们循环判断下面$3$种小情况讨论：

$1、$$dfn[q]>dfn[lca]$：什么意思呢？我们先画一幅图：

 

那么这幅图告诉了我们什么信息呢：

以$q$为根的子树已经遍历完毕，现在进入到了以$x$为根的子树，现在需要把以$q$为根的子树的信息存好

那么在遍历到$p$点时，我们栈中维护的是什么呢？很明显栈内元素（$dfs$序）为：

 

那么也就是维护了从$1-2-3-4$这条树链，也就是说我本来维护的是下图的链：

而现在我们需要维护下图的链：

那显然我们要退栈把$p$弹出去，那么就失去了$q-p$的信息，所以我们要在虚树上连边，把要失去的信息保存下来，也就是把$q-p$在虚树上连边，退栈一次，再循环

 

所以，当$dfn[q]>dfn[lca]$时，由$q$向$p$在虚树上连边，并且退一次栈

 

$2、$$dfn[q]=dfn[lca]$：那么我们接着上幅图，退一次栈后如下图（紫色边为在虚树上已连接的边）：

那么我们发现我们只需要连接$lca-p$的边就可以维护好左子树了，那么连完边后，就要维护右子树的链，所以把$x$压入栈中

所以当$dfn[q]==dfn[lca]$时，由$lca$或者$q$向$p$连边，并且把$x$节点压栈，终止循环

$3、$$dfn[q]<dfn[lca]$时：这个就比较有意思了，我们需要重新画一幅图：

 

首先，栈顶元素就是$p$，第二个元素是$q$（根节点一开始就在栈内），然而我们发现$dfn[q]<dfn[lca]$，也就是说$lca$被$p,q$夹在中间了，那么我们同样思考这代表了什么？

$1、$$p$与$lca$之间没有关键点了，因为最近的关键点为$q$，这也就告诉我们$lca$的左子树就差$lca-p$这一条边了,所以我们要再退一次栈，并且虚树上连边$lca-p$

$2、$$lca$不在栈中，也就是说$lca$不是询问点，但是它是关键点，因为它连接着$p,x$的关系等，所以它是不可忽略的，所以我们如果要维护到$x$的链的话，就必须把$lca$也加入栈中

 

所以，当$dfn[q]<dfn[lca]$时，虚树上连边$lca-p$，退栈，把$lca,x$按顺序压栈，终止循环

 

最后要注意的是，栈内还会有元素没有退出，所以最后还要把栈内元素依次连边

 

上面就是建虚树的过程了，如果还是不懂，可以配合下文一起理解，多多回味，其实很好理解的

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图解虚树建立过程：

对于一开始的图，我们模拟它虚树的建立过程，初始图：

$1、$插入根节点

我们首先要维护的肯定是根节点了，那么我们把根节点入栈：

$2、$插入$3$节点

把询问点按照$dfs$序排列后，下一个待插入的点为$3$，那么 我们求出$lca(1,3)$，其实就是$1$节点，那么也就满足最上面的第一种情况$lca==p$，所以直接压栈，维护$1-3$这条链，此时栈内情况：

 

 $3、$插入$5$节点

下一个询问点为$5$节点，那么求出栈顶元素$3$与$5$的$lca$为$2$，发现，$p,x$位于不同子树，所以求出$q$为$1$，也就是下图：

我们发现$dfn[q]<dfn[lca]$，那么也就是说我们只需要连接$lca-p$就可以维护完成左子树了，（具体说明见上文），所以我们在虚树上连边$lca-p$，退栈，把$lca,x$压入栈中，那么也就是说本来维护的是$1-3$这条链，而现在改成维护$1-2-5$这条链了，那么树中栈中情况如下：

$4、$插入$8$节点

我们还是像原来一样，求出$5,8$的$lca$为$1$，那么我们求出$q$为$2$，发现$dfn[q]>dfn[lca]$也就是说$q$还在$lca$的原来遍历的子树中，那么现在$x$很明显在一个新的子树，栈内需要维护新的链，那么原来的链就要在虚树上保存下来，所以我们连接$q-p$，退栈，发现$q$变成了$1$，$p$变成了$2$，此时$dfn[q]=dfn[lca]$，那么也就是满足第二种情况，也就是告诉我们只需要连接的$lca-$这条边后这个子树就遍历完了，所以我们连边$lca-p$，退栈，把$x$压栈，维护新的链$1-8$，终止循环，完成后如下图：

$5、$插入$9$节点

我们还是按照以往一样，求出$9,8$的$lca$为$8$，也就是$lca(p,x)=p$的情况，这时候说明在一条链上，可以直接压栈维护，所以直接把$9$压栈，此时维护的链为$1-8-9$，栈内情况：

$6、$插入$10$节点

求出$10,9$的$lca$为$1$，那么发现在不同子树中，求出$q$为$8$，那么发现$dfn[q]>dfn[lca]$，那么把$q-p$连边，（为什么上文已经提及），然后退栈，此时$p=8,q=1,lca=1$，发现$dfn[q]=dfn[lca]$，所以连边$lca-p$，退栈，把$10$压栈，如下图：

$7、$清空栈内剩余元素

 

我们依次由$stack[top-1]$向$stack[top]$连边，也就是连接$1-10$，完成后如下：

那么到这里，虚树就建完了，把紫色的边提出来就是虚树了，也就是下图：

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代码实现：

void Build(int x)
{
	stack[++top]=1;
	for(int i=0;i<mark.size();++i)
	{
		int x=mark[i];
		int lca=Lca(x,stack[top]);
		if(lca==stack[top])
		{
			stack[++top]=x;
			return ;
		}
		while(top>1&&dfn[stack[top-1]]>=dfn[lca])
			Add(stack[top-1],stack[top]),--top;
		if(lca!=stack[top])
			Add(lca,stack[top]),stack[top]=lca;
		stack[++top]=x;
	}
}

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尾声：

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