BFS练习

1. 给定$d,k$, 求最小的被$d$整除, 且各数位仅有$k$和$0$组成的数. $(1\le k\le 9,1\le n\le 1e6)$

从高位到低位$BFS$, BFS求出字典序最小的方案.

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <queue>
#define REP(i,a,n) for(int i=a;i<=n;++i)
#define x first
#define y second
using namespace std;
typedef pair<int,int> pii;

const int N = 1e6+10;
queue<int> q;
int d, k, vis[N];
pii pre[N];

void dfs(int x) {
	if (pre[x].x!=-1) dfs(pre[x].x);
	printf("%d", pre[x].y);
}

int main() {
	scanf("%d%d", &d, &k);
	q.push(k%d);
	vis[k%d] = 1;
	pre[k%d] = pii(-1,k);
	while (q.size()) {
		int u = q.front(); q.pop();
		for (int i=0; i<=k; i+=k) {
			int v = (u*10+i)%d;
			if (!vis[v]) {
				vis[v] = 1;
				pre[v] = pii(u,i);
				q.push(v);
			}
		}
	}
	dfs(0),puts("");
}

2. 被$d$整除, 数位和为$s$的数. (CF 1070A)

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <queue>
#define REP(i,a,n) for(int i=a;i<=n;++i)
#define x first
#define y second
using namespace std;
typedef pair<int,int> pii;

queue<pii> q;
int d, s, vis[555][5050];
pii pre[555][5050];

void dfs(int x, int y) {
	if (x||y) {
		dfs(pre[x][y].x,pre[x][y].y);
		printf("%d",y-pre[x][y].y);
	}
}

int main() {
	scanf("%d%d", &d, &s);
	q.push(pii(0,0));
	vis[0][0] = 1;
	while (q.size()) {
		pii u = q.front(); q.pop();
		REP(i,0,9) {
			pii v((u.x*10+i)%d,u.y+i);
			if (v.y<=s&&!vis[v.x][v.y]) {
				q.push(v);
				pre[v.x][v.y] = u;
				vis[v.x][v.y] = 1;
			}
		}
	}
	if (!vis[0][s]) return puts("-1"),0;
	dfs(0,s),puts("");
}

3. 给定$k$种浓度的水, 每种数量无限, 求混合为浓度$n$最少要多少杯.

容易发现答案序列$a_i$满足$\sum (a_i-n)=0$, 从而转化为$BFS$求最小环.

但是有一个问题是$\sum (a_i-n)$的范围, 测试一下发现只要保证每步都在$[-1000,1000]$一定最优, 考虑证明.

只需要证明 任意一个最优解均可通过重排, 使得每一步的和都在$[-1000,1000]$即可.

考虑一个最优方案, 假设当前的$s>0$, 考虑添加一个数$t>0$.

不合法当且仅当$s+t>1000$, 考虑调整后面负数的位置, 使得方案合法.

若剩余负数存在一个$x$,有$-x\ge t$, 那么直接转移为$s+x+t$即可.

否则剩余负数全在范围$[-t+1,0)$内.

并且剩余负数总和绝对值一定不少于$s+t$(合法方案保证总和为$0$).

这样的话不断选负数, 直到$s+\sum x + t \le 1000$, 这样一定合法.

这是因为调整过程中, 最坏情况是和变为$s+\sum x=1001-t$, 然后添加一个最小数得到$s+\sum x=1002-2t>-1000$, 满足条件.

所以结论成立.

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <queue>
#define REP(i,a,n) for(int i=a;i<=n;++i)
using namespace std;

const int N = 1e5+10;
int n, k, a[N];
int v[N], d[N], *dis = d+5010, *vis = v+5010;
queue<int> q;

int main() {
	scanf("%d%d", &n, &k);
	REP(i,1,k) {
		scanf("%d", a+i);
		a[i] -= n;
		if (vis[a[i]]) {
			--i, --k;
			continue;
		}
		vis[a[i]] = 1;
		dis[a[i]] = 1;
		q.push(a[i]);
	}
	while (q.size()) {
		int u = q.front(); q.pop();
		REP(i,1,k) {
			int v = u+a[i];
			if (abs(v)>1000) continue;
			if (!vis[v]) {
				vis[v] = 1;
				dis[v] = dis[u]+1;
				q.push(v);
			}
		}
	}
	printf("%d\n", vis[0]?dis[0]:-1);
}