[CF981F]Round Marriage[二分+霍尔定理]

题意

洛谷

分析

• 参考了Icefox
• 首先二分，然后考虑霍尔定理判断是否有完美匹配。如果是序列的话，因为这里不会出现 \(j<i，L(i)<L(j)\) 或者 \(j<i,R(i)<R(j)\) 的情况，所以可以不用线段树，直接判断是否存在 \(j,i(j<i)\) 满足 \(R(i)-L(j)+1<i-j+1\) (只需要判断连续的一段)。
• 因为是环，考虑将 \(a,b\) 数列分别倍长，但是发现环上到达某个 \(b\) 仍然需要讨论。此时只需要在最左边和最右边再加一倍 \(b\) 序列就可以处理了。
• 总时间复杂度 \(O(nlogn)\) 。

总结这种霍尔定理的套路：

1. 对于同样的 \(\digamma\) 能够增加 \(x\) 集合的大小就增加。
2. 当 \(x\) 集合可以拆成两个 $\digamma $ 不相交的集合时一定分开讨论。
3. 对于同样种类(大小)的 \(x\) 集合只讨论最具有影响力的。
4. "非完美算法" 思想在查找 \(\digamma(x)\)(并集) 时的体现。
5. 讨论二分图的哪一边取决于是否便于操作。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
#define go(u) for(int i = head[u], v = e[i].to; i; i=e[i].lst, v=e[i].to)
#define rep(i, a, b) for(int i = a; i <= b; ++i)
#define pb push_back
#define re(x) memset(x, 0, sizeof x)
inline int gi() {
    int x = 0,f = 1;
    char ch = getchar();
    while(!isdigit(ch)) { if(ch == '-') f = -1; ch = getchar();}
    while(isdigit(ch)) { x = (x << 3) + (x << 1) + ch - 48; ch = getchar();}
    return x * f;
}
template <typename T> inline void Max(T &a, T b){if(a < b) a = b;}
template <typename T> inline void Min(T &a, T b){if(a > b) a = b;}
const int N = 2e5 + 7, inf = 0x3f3f3f3f;
int n, L;
LL a[N << 1], b[N << 2];
bool check(int mid) {
	int mx = -inf;
	for(int i = 1, j1 = 1, j2 = 1; i <= 2 * n; ++i) {
		while(j1 <= 4 * n && b[j1] < a[i] - mid) ++j1;
		while(j2 <= 4 * n && b[j2] <= a[i] + mid) ++j2;
		Max(mx, j1 - i);
		if(j2 - i - 1 < mx) return 0;
	}
	return 1;
}
int main() {
	n = gi(), L = gi();
	rep(i, 1, n) a[i] = gi();
	sort(a + 1, a + 1 + n);
	rep(i, 1, n) b[i] = gi();
	sort(b + 1, b + 1 + n);
	for(int i = 1; i <= n; ++i) a[i] += L, a[i + n] = a[i] + L;
	for(int i = 1; i <= 3 * n; ++i) b[i + n] = b[i] + L;
	int l = 0, r = L / 2;
	while(l < r) {
		int mid = l + r >> 1;
		if(check(mid)) r = mid;
		else l = mid + 1;
	}
	printf("%d\n", l);
	return 0;
}