DSO 优化代码中的 Schur Complement
接上一篇博客《直接法光度误差导数推导》,DSO 代码中 CoarseInitializer::trackFrame 目的是优化两帧(ref frame 和 new frame)之间的相对状态和 ref frame 中所有点的逆深度。
在代码中出现了变量Hsc
和变量bsc
,其中的"sc"是指 Schur Complement。依据这个事实就能够确定整个优化过程的所有细节。
一下假设 ref frame 上需要优化逆深度的点共有 N 个。
首先构建 Gauss Newton 方程,需要优化的参数共有 N + 8 个。
\]
其中\(\delta x\)是一个(N+8)x1的向量,\(J\) 是 Nx(N+8) 的矩阵,第 i 行表示\(r_{21}^{(i)}\) 对\(\delta x\)的导数(求导得到的结果就是“横着”的),\(r_{21}\)是 Nx1 的向量。
& = \begin{bmatrix} \delta \rho^T & \delta x_{21}^T \end{bmatrix}^T\notag \end{align}\]
\(x_{21}\) 表示量帧之间的相对状态转换,包括 8 个参数。
\partial r_{21}^{(2)} \over \partial \rho^{(1)} & \partial r_{21}^{(2)} \over \partial \rho^{(2)} & \dots & \partial r_{21}^{(2)} \over \partial \rho^{(N)} & \partial r_{21}^{(2)} \over \partial \xi_{21}^{(1)} & \partial r_{21}^{(2)} \over \partial \xi_{21}^{(2)} & \dots & \partial r_{21}^{(2)} \over \partial \xi_{21}^{(6)} & \partial r_{21}^{(2)} \over \partial a_{21} & \partial r_{21}^{(2)} \over \partial b_{21} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots \\
\partial r_{21}^{(N)} \over \partial \rho^{(1)} & \partial r_{21}^{(N)} \over \partial \rho^{(2)} & \dots & \partial r_{21}^{(N)} \over \partial \rho^{(N)} & \partial r_{21}^{(N)} \over \partial \xi_{21}^{(1)} & \partial r_{21}^{(N)} \over \partial \xi_{21}^{(2)} & \dots & \partial r_{21}^{(N)} \over \partial \xi_{21}^{(6)} & \partial r_{21}^{(N)} \over \partial a_{21} & \partial r_{21}^{(N)} \over \partial b_{21} \end{bmatrix} \notag \\
& = \begin{bmatrix} J_\rho & J_{x_{21}} \end{bmatrix}\notag \end{align}\]
Gauss Newton 方程可以进一步写成
\]
\]
Schur Complement 消除 \(\delta \rho\):
\]
CoarseInitializer::trackFrame 是调用了 CoarseIntializer::calcResAndGS 计算 Gauss Newton 相关的数值。
在函数 CoarseIntializer::calcResAndGS 中变量acc9
与公式中的\(H_{x_{21}x_{21}}, J_{x_{21}}^T r_{21}\)相关,acc9SC
与公式中的\(H_{\rho x_{21}}^TH_{\rho\rho}^{-1}H_{\rho x_{21}}, H_{\rho x_{21}}^TH_{\rho\rho}^{-1} J_\rho^T r_{21}\)相关。
acc9.H
是9x9的矩阵:
\]
acc9
的累加在两个循环内部,循环是遍历 patternNum。
第一个循环 for(int i=0;i+3<patternNum;i+=4)
内部是 acc9.updateSSE
。
acc9.updateSSE
使用了 Intel 的 Streaming SIMD Extensions (SSE),一次操作取 4 个 float,完成 4 个不同数据、相同命令的 float 运算。这种一次 4 个数据的操作,说明了循环的 i 增量是 4。算法现在使用的 patternNum 是 8(8%4==0),所以当前循环可以完成所有 pattern 点的操作。如果 patternNum%4 != 0,剩下的余数就可以用第二个循环 for(int i=((patternNum>>2)<<2); i < patternNum; i++)
,((patternNum>>2)<<2)
把最后两个 bit 设置为 0,得到了小于 patternNum 的最大的 4 的倍数,这个循环每次进行 1 个float运算,把最后未循环到的 pattern 点补足。
为了理解acc9SC
需要将前面的两个舒尔补矩阵进行变换:
&= {1 \over J_\rho J_\rho^T} J_{x_{21}}^TJ_\rho (J_\rho^TJ_\rho)^{-1} J_\rho^T J_\rho J_\rho^T J_{x_{21}} \notag \\
&= {1 \over J_\rho J_\rho^T} J_{x_{21}}^TJ_\rho J_\rho^T J_{x_{21}} \notag \end{align}\]
&= {1 \over J_\rho J_\rho^T} J_{x_{21}}^TJ_\rho J_\rho ^Tr_{21} \notag \end{align}\]
JbBuffer_new
在 idx pattern 循环内,分别对每点的8个 pattern 的\(J_{x_{21}}^TJ_\rho, J_\rho^Tr_{21}, J_\rho J_\rho^T\)进行累加。最后在 idx 点循环完成之后,使用JbBuffer_new
中的数据对acc9SC
进行处理,累加得到最终的结果。在处理的过程中代码
JbBuffer_new[i][9] = 1 / (1 + JbBuffer_new[i][9]);
对应着\({1 \over J_\rho J_\rho^T}\),分母里多了一个1,猜测是为了防止JbBuffer_new[i][9]
太小造成系统不稳定。
回到函数 CoarseInitializer::trackFrame 中,在得到相关的矩阵之后,变量H, Hsc
相减解算\(x_{21}\),对Hsc
加了一个权值1/(1+lambda)
,并且在接受更新时降低lambda
提高了Hsc
的权重。这个权重相当于是\(d\)对于\(x_{21}\)的权重。
对\(x_{21}\)的更新很容易看到,对\(d\)的更新在 CoarseInitializer::doStep 中。
float b = JbBuffer[i][8] + JbBuffer[i].head<8>().dot(inc);
float step = -b * JbBuffer[i][9] / (1 + lambda);
在得到\(\delta x_{21}\)之后可以代回求\(\delta \rho\):
\delta \rho = -H_{\rho\rho}^{-1}(J_\rho^Tr_{21} + H_{\rho x_{21}}\delta x_{21})\]
对于每一个点,代码中inc
对应\(\delta x_{21}\),JbBuffer[i].head<8>()
对应\(H_{\rho x_{21}}\)的第 8*i 行到第 8*i+7 行,JbBuffer[i][8]
对应\(J_\rho^Tr_{21}\)的第 8*i 行到第8*i+7 行,JbBuffer[i][9]
对应\(H_{\rho\rho}^{-1}\)的\((i, i)\)位置上的 Scalar。
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