Luogu 1641[SCOI2010]生成字符串 - 卡特兰数

Description

有$N$ 个 $1$ 和 $M$ 个 $0$ 组成的字符串， 满足前 $k$ 个字符中 $1$ 的个数不少于 $0$ 的个数。

求这样字符串的个数。

$1<=M <=N<=1e6$

Solution

正难则反， 很难直接求出满足条件的字符串的个数， 就从反面考虑。

$N$个$1$ 和 $M$ 个 $0$ 组成的字符串总共有 $C(N + M, N)$ 个， 再减去不满足条件的 字符串的个数就能够得到答案了。

不满足条件的字符串个数为$C(N+M,N+1)$

证明与 卡特兰数的证明类似：

设一个 不满足条件的字符串 $0$ 的个数 比 $1$ 多 的 位置为 $k$。

并且 对于任意 $j <k$， 前$j$个字符中$num_1>=num_0$， 而前$k$个字符$num_1<num_0$。

很显然 $num_0=num_1+1$， 我们将这个 $k$ 个字符都取反， $0$ 变成 $1$， $1$ 变成 $0$。

$0$ 的个数减少 $1$ 个， $1$ 的个数 增加 $1$个，

那么取反后的字符串 中 $1$ 的个数为 $N+1$， $0$ 的个数为 $M-1$。

由于 $N+1$个$1$ ，$M-1$个$0$ 组成的字符串恰好有$C(N+M,N+1)$个。

所以我们接下来要证明 它们是 一 一对应的，（即$(N,M)$中不满足条件的字符串通过转换能 对应上 $(N+1, M-1)$ 每种字符串）

　　现在已知 $(N,M)$ 能通过转换变成 $(N+1,M-1)$ 且没有重复。

　　只需证明$(N+1,M-1)$ 通过转换 变成 $(N,M)$ ： 找到第一个 $1$ 比 $0$ 多的位置 $k$ 并把前 $k$ 个字符取反 即可。

证毕

最后答案就是 $C(N+M,N)-C(N+M,N+1)$。

Code

 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<algorithm>
 #define ll long long
 using namespace std;

 const int mod = ;
 const int N = 2e6 + ;

 ll fpow(ll a, ll b) {
     ll re = ;
     for (; b; b >>= , a = a * a % mod)
         if (b & ) re = re * a % mod;
     return re;
 }

 ll fac[N], ans;

 int main()
 {
     int n, m, M;
     scanf("%d%d", &n, &m);
     M = n + m;
     fac[] = fac[] = ;
     for (int i = ; i <= M; ++i)
         fac[i] = fac[i - ] * i % mod;
     ans = fac[M] * fpow(fac[n], mod - ) % mod;
     ans = ans * fpow(fac[m], mod - ) % mod;
     ll tmp = fac[M] * fpow(fac[n + ], mod - ) % mod;
     tmp = tmp * fpow(fac[m - ], mod - ) % mod;
     ans = ans - tmp;
     ans = (ans % mod + mod) % mod;
     printf("%lld\n", ans);
 }