MT【174】凹凸无妨

已知函数$f(x)=|x^3+3x^2-ax-b|$,对任意$a,b\in R$存在$x\in[-3,0]$使得$f(x)\le m$成立,求$m$的范围.
求 $\displaystyle\min_{a,b\in\mathbb{R}}\max_{x\in[-3,0]}|x^3+3x^2-ax-b|$.

解：由于
\begin{align*}
6M(a,b)&\geq 2|f(-3)|+3|f(-2)|+|f(0)|\\
&\geq 2|-3a+b|+3|4+2a-b|+|b|\\
&\geq |-6a+2b+12+6a-3b+b|\\
&=12.
\end{align*}
所以
\[ M(a,b)\geq 2.\]
另一方面，当 $a=0,b=2$ 时，容易验证
\[ \max_{x\in[-3,0]}|x^3+3x^2-2|=2,\]
故
\[\displaystyle\min_{a,b\in\mathbb{R}}M(a,b)=2.\]

注：以上是解答题做法，如果填空，画图显然.之前主要研究单一的凹凸的，这题开始凹凸都有的也研究透彻.