CS229 笔记02

CS229 笔记02

公式推导

$ {\text {For simplicity, Let }} A, B, C \in {\Bbb {R}}^{n \times n}. $
​

$ {\bf {\text {Fact.1: }}} \text{If } a \in {\Bbb R}, {\rm tr}a=a $
​

$ {\bf {\text {Fact.2: }}} {\rm{tr}}A={\rm{tr}}A^{\rm T} $

\[
\begin{eqnarray*} {\rm {tr}}\,A&=&\sum_{i=1}^n{a_{ii}} \\[1em]
&=&{\rm {tr}}\,A^{\rm T}
\end{eqnarray*}
\]

$ {\bf {\text {Fact.3: }}} {\rm{tr}}AB={\rm{tr}}BA $

\[
\begin{eqnarray*}
{\rm tr}\,AB&=&\sum_{i=1}^n{[AB]_{ii}} \\[1em]
&=&\sum_{i=1}^n{\sum_{k=1}^{n}{a_{ik}\,b_{ki}}} \\[1em]
&=&\sum_{i=1}^n{\sum_{k=1}^{n}{b_{ki}\,a_{ik}}} \\[1em]
&=&\sum_{i=1}^n{\sum_{k=1}^{n}{b_{ik}\,a_{ki}}} \\[1em]
&=&\sum_{i=1}^n{[BA]_{ii}} \\[1em]
&=&{\rm tr}\,BA \\
\end{eqnarray*}
\]

$ {\bf {\text {Fact.4: }}} {\rm{tr}}ABC={\rm{tr}}CAB={\rm{tr}}BCA $

\[
\begin{eqnarray*}
{\rm tr}\,ABC&=&{\rm tr}\,(AB)C \\[1em]
&=&{\rm tr}\,C(AB) \tag{Fact.3} \\[1em]
&=&{\rm tr}\,A(BC) \\[1em]
&=&{\rm tr}\,(BC)A \tag{Fact.3} \\[1em]
\end{eqnarray*}
\]

$ {\bf {\text {Fact.5: }}} \nabla_A{{\rm {tr}} AB}=B^{\rm T}$

\[
\begin{eqnarray*}
{\rm {tr}\, AB}&=&\sum_{i=1}^n{[AB]_{ii}}=\sum_{i=1}^n{\sum_{k=1}^n{a_{ik}\,b_{ki}}} \\[1em]
\nabla_A\,{{\rm {tr}}\, AB}&=&\frac{\partial{{\rm {tr}}\,AB}}{\partial A} \\[1em]
&=&\begin{bmatrix}\frac{\partial\,{{\rm {tr}}\,AB}}{\partial a_{11}} & \frac{\partial\,{{\rm {tr}}\,AB}}{\partial a_{12}} & \cdots & \frac{\partial\,{{\rm {tr}}\,AB}}{\partial a_{1n}} \\[1em] \frac{\partial\,{{\rm {tr}}\,AB}}{\partial a_{21}} & \frac{\partial\,{{\rm {tr}}\,AB}}{\partial a_{22}} & \cdots & \frac{\partial\,{{\rm {tr}}\,AB}}{\partial a_{2n}} \\[1em] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\[1em] \frac{\partial\,{{\rm {tr}}\,AB}}{\partial a_{n1}} & \frac{\partial\,{{\rm {tr}}\,AB}}{\partial a_{n2}} & \cdots & \frac{\partial\,{{\rm {tr}}\,AB}}{\partial a_{nn}}\end{bmatrix} \\[1em]
&=&\begin{bmatrix}\frac{\partial}{\partial a_{11}}{\sum_{i=1}^n{\sum_{k=1}^n{a_{ik}\,b_{ki}}}} & \frac{\partial}{\partial a_{12}}{\sum_{i=1}^n{\sum_{k=1}^n{a_{ik}\,b_{ki}}}} & \cdots & \frac{\partial}{\partial a_{1n}}{\sum_{i=1}^n{\sum_{k=1}^n{a_{ik}\,b_{ki}}}} \\[1em] \frac{\partial}{\partial a_{21}}{\sum_{i=1}^n{\sum_{k=1}^n{a_{ik}\,b_{ki}}}} & \frac{\partial}{\partial a_{22}}{\sum_{i=1}^n{\sum_{k=1}^n{a_{ik}\,b_{ki}}}} & \cdots & \frac{\partial}{\partial a_{2n}}{\sum_{i=1}^n{\sum_{k=1}^n{a_{ik}\,b_{ki}}}} \\[1em] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\[1em] \frac{\partial}{\partial a_{n1}}{\sum_{i=1}^n{\sum_{k=1}^n{a_{ik}\,b_{ki}}}} & \frac{\partial}{\partial a_{n2}}{\sum_{i=1}^n{\sum_{k=1}^n{a_{ik}\,b_{ki}}}} & \cdots & \frac{\partial}{\partial a_{nn}}{\sum_{i=1}^n{\sum_{k=1}^n{a_{ik}\,b_{ki}}}}\end{bmatrix} \\[1em]
&=&\begin{bmatrix} b_{11} & b_{21} & \cdots & b_{n1} \\ b_{12} & b_{22} & \cdots & b_{n2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{1n} & b_{2n} & \cdots & b_{nn} \end{bmatrix} \\[1em]
&=&B^{\rm T}
\end{eqnarray*}
\]

$ {\bf {\text {Fact.6: }}} \nabla_A{\rm {tr}}ABA^{\rm T}C=C^{\rm T}AB^{\rm T}+ CAB $

\[
\begin{eqnarray*}
[\nabla_A\,{\rm {tr}}\,ABA^{\rm T}C]_{ij}&=&\frac{\partial}{\partial a_{ij}}{{\rm {tr}}\,ABA^{\rm T}C} \\[1em]
&=&\frac{\partial}{\partial a_{ij}}{\sum_{pqrs}{a_{pq}\,b_{qr}\,a_{sr}\,c_{sp}}} \\[1em]
&=&\sum_{pqrs}{b_{qr}\,a_{sr}\,c_{sp}\,[I]_{pi}\,[I]_{qj}} + \sum_{pqrs}{a_{pq}\,b_{qr}\,c_{sp}\,[I]_{si}\,[I]_{rj}} \\[1em]
&=&\sum_{rs}{b_{jr}\,a_{sr}\,c_{si}} + \sum_{pq}{a_{pq}\,b_{qj}\,c_{ip}} \\[1em]
&=&\sum_{rs}{c_{si}\,a_{sr}\,b_{jr}} + \sum_{pq}{c_{ip}\,a_{pq}\,b_{qj}} \\[1em]
&=&\sum_{rs}{[C^{\rm T}]_{is}\,a_{sr}\,[B^{\rm T}]_{rj}} + \sum_{pq}{c_{ip}\,a_{pq}\,b_{qj}} \\[1em]
&=&[C^{\rm T}AB^{\rm T}]_{ij}+ [CAB]_{ij} \\
\end{eqnarray*} \\
\]

\[
\therefore\,\nabla_A\,{\rm {tr}}\,ABA^{\rm T}C=C^{\rm T}AB^{\rm T}+ CAB
\]

最小二乘法

假设有 \(m\) 个样本 $ x^{(1)},x^{(2)},\cdots,x^{(m)}, x^{(i)} \in {\Bbb R}^{n} $ ，目标集为 $ y^{(1)},y^{(2)},\cdots,y^{(m)}, y^{(i)} \in {\Bbb R} $ .

令：

\[
X=\begin{bmatrix}1 & (x^{(1)})^{{\rm T}} \\ 1 & (x^{(2)})^{{\rm T}} \\ \vdots & \vdots \\ 1 & (x^{(m)})^{{\rm T}} \end{bmatrix},Y=\begin{bmatrix}y^{(1)} \\ y^{(2)} \\ \vdots \\ y^{(m)} \end{bmatrix},\Theta=\begin{bmatrix}\theta_{0} \\ \theta_{1} \\ \vdots \\ \theta_{n+1}\end{bmatrix}
\]

\[
h(x^{(i)})=\theta_0 + \theta_1x^{(i)}_1 + \theta_2x^{(i)}_2 + \cdots + \theta_{n+1}x^{(i)}_{n+1}
\]

整理：
​
\[
\begin{eqnarray*}
X\Theta&=&h_\Theta(X) \tag{Eq.1}\\[1em]
J_\Theta(X, Y)&=&\frac{1}{2}\begin{Vmatrix}h_\Theta(X) - Y\end{Vmatrix}^2 \\[1em]
&=&\frac{1}{2}\begin{Vmatrix}X\Theta - Y\end{Vmatrix}^2 \\[1em]
&=&\frac{1}{2}(X\Theta - Y)^{\rm T}(X\Theta - Y) \\[1em]
&=&\frac{1}{2}(\Theta^{\rm T}X^{\rm T} - Y^{\rm T})(X\Theta - Y) \\[1em]
&=&\frac{1}{2}(\Theta^{\rm T}X^{\rm T}X\Theta - Y^{\rm T}X\Theta - \Theta^{\rm T}X^{\rm T}Y + Y^{\rm T}Y) \tag{Eq.2}\\[1em]
\nabla_\Theta{{\rm{tr}}(\Theta^{\rm T}X^{\rm T}X\Theta)}&=&\nabla_\Theta{{\rm{tr}}(\Theta\Theta^{\rm T}X^{\rm T}X)} \\[1em]
&=&\nabla_\Theta{{\rm{tr}}(\Theta I \Theta^{\rm T}X^{\rm T}X)} \\[1em]
&=&(X^{{\rm T}}X)^{{\rm T}}\Theta I^{{\rm T}} + (X^{{\rm T}}X)\Theta I \tag{Fact.6} \\[1em]
&=&2X^{{\rm T}}X\Theta \tag{Eq.3} \\[1em]
\nabla_\Theta{{\rm{tr}}(Y^{\rm T}X\Theta)}&=&\nabla_\Theta{{\rm{tr}}(\Theta Y^{\rm T}X)} \tag{Fact.4} \\[1em]
&=&(Y^{\rm T}X)^{{\rm T}} \tag{Fact.5} \\[1em]
&=&X^{\rm T}Y \tag{Eq.4} \\[1em]
\nabla_\Theta{{\rm{tr}}(\Theta^{\rm T}X^{\rm T}Y)}&=&\nabla_\Theta{{\rm{tr}}(\Theta^{\rm T}X^{\rm T}Y)^{{\rm T}}} \tag{Fact.2} \\[1em]
&=&\nabla_\Theta{{\rm{tr}}(Y^{\rm T}X\Theta)} \\[1em]
&=&X^{\rm T}Y \tag{Eq.5} \\[1em]
\end{eqnarray*}
\]

令 $ \nabla_{\Theta}{[J_\Theta(X, Y)]} = 0 $

\[
\begin{eqnarray*}
\nabla_{\Theta}{[J_\Theta(X, Y)]} &=& 0 \\[1em]
\nabla_{\Theta}{[\frac{1}{2}(\Theta^{\rm T}X^{\rm T}X\Theta - Y^{\rm T}X\Theta - \Theta^{\rm T}X^{\rm T}Y + Y^{\rm T}Y)]} &=& 0 \tag{Eq.2} \\[1em]
\nabla_{\Theta}{{\rm{tr}}[\frac{1}{2}(\Theta^{\rm T}X^{\rm T}X\Theta - Y^{\rm T}X\Theta - \Theta^{\rm T}X^{\rm T}Y + Y^{\rm T}Y)]} &=& 0 \tag{Fact.1}\\[1em]
\nabla_{\Theta}{\{\frac{1}{2}[{\rm{tr}}(\Theta^{\rm T}X^{\rm T}X\Theta) - {\rm{tr}}(Y^{\rm T}X\Theta) - {\rm{tr}}(\Theta^{\rm T}X^{\rm T}Y) + {\rm{tr}}(Y^{\rm T}Y)]\}} &=& 0 \\[1em]
\frac{1}{2}(2X^{{\rm T}}X\Theta - X^{\rm T}Y - X^{\rm T}Y) &=& 0 \tag{Eq.3.4.5} \\[1em]
X^{{\rm T}}X\Theta - X^{\rm T}Y &=& 0 \\[1em]
X^{{\rm T}}X\Theta &=& X^{\rm T}Y \\[1em]
\Theta &=& (X^{{\rm T}}X)^{-1}X^{\rm T}Y \\[1em]
\end{eqnarray*}
\]

从线性空间上面理解

\(X\) 可以看作是在 \({\Bbb R}^{m}\) 空间中的一个超平面（经过原点 \(O\) ）， \(Y\) 是空间中的一个点，最小二乘法的可以看作是在平面 \(X\) 上面找一个点 \(\hat{Y}\) ，使得 \(\hat{Y}\) 与 \(Y\) 距离最小。

由几何关系可知，当 \(\overrightarrow{\hat{Y}Y}\) 与超平面垂直时，距离最短。

超平面为 \(X\) 的列空间，即 \(X^{{\rm T}}\) ，\(\overrightarrow{\hat{Y}Y}=X\Theta-Y\) 。

由 $X^{{\rm T}} \bot (X\Theta-Y) $ 得：\(X^{{\rm T}}(X\Theta-Y)={\bf 0}\) 。

解得：\(\Theta = (X^{{\rm T}}X)^{-1}X^{\rm T}Y\)