CF557E Ann and Half-Palindrome 题解

算法：dp+字典树

题目链接Ann and Half-Palindrome

  在CF刷字符串题的时候遇到了这题，其实并没有黑题这么难，个人感觉最多是紫题吧（虽然一开始以为是后缀自动机的神仙题）。

  首先注意到字符串 \(s\) 长度很小( \(1\le|s|\le5000\) ),可以 \(\mathcal O(n^2)\) 地把所有子串求出来，再用Trie树存起来，这样就方便我们dfs求字典序第 \(k\) 小的半回文串。所以问题重心变为怎么快速判断这些子串是否为半回文串。根据半回文串的特点，长度长的半回文串是包含长度小的半回文串的，所以我们可以用区间dp解决。设 \(f[i][l]\) 表示 \(s[i,i+l-1]\) 是否为半回文串，它的转移方程可以写作( \([A]\) 表示 \(A\) 为真时值为1，否则为0)：

\[\left\{\begin{array}{l}f[i][1]=1\\ f[i][2]=[s[i]=s[i+1]]\\f[i][3]=[s[i]=s[i+2]]\\f[i][4]=[s[i]=s[i+3]] \\ f[i][l]~=[~s[i]=s[i+l-1]\&\&f[i+2][l-4]~],l\ge5\end{array}\right.
\]

  这样dp的时间复杂度也是 \(\mathcal O(n^2)\) 的。之后dfs求解第 \(k\) 小的半回文串就比较简单了，由于Trie节点数也是 \(\mathcal O(n^2)\) 的，所以总时间复杂度是 \(\mathcal O(n^2)\) 的。

\(Code:\)

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 5e3 + 5;
bool f[N][N];
int trie[N * N][2],cnt,num[N * N],tot,k;
char s[N+6],ans[N];

void dfs(int now){
    for(int i = 0;i <= 1;i++){
        int next = trie[now][i];
        if(next == 0) continue;
        //如果该节点所表示的半回文串数量大于k，说明答案就是该半回文串。
        if(k <= num[next]) {
            ans[++tot] = i + 'a';
            for(int j = 1; j <= tot; j++) printf("%c", ans[j]);
            exit(0);
        }
        k -= num[next];     //k为全局变量
        ans[++tot] = i + 'a';
        dfs(next);
        tot--;
    }
}

int main() {
    scanf("%s %d",s+1,&k);
    int len = strlen(s+1);
    for(int i = 1;i <=len;i++) f[i][1] = 1;
    for(int i = 1;i < len;i++) f[i][2] = s[i] == s[i+1];
    for(int i = 1;i < len;i++) f[i][3] = s[i] == s[i+2];
    for(int i = 1;i < len;i++) f[i][4] = s[i] == s[i+3];
    for(int l = 5;l <= len;l++)
        for(int i = 1; i <= len; i++)
            f[i][l] = (s[i] == s[i+l-1] && f[i+2][l-4]);
    //将s所有子串加入trie树中
    for(int i = 1;i <= len;i++){
        int now = 0;
        for(int l = 1; l+i-1 <= len; l++){
            int c = s[i+l-1] - 'a';
            if(trie[now][c] == 0) trie[now][c] = ++cnt;
            now = trie[now][c];
            if(f[i][l]) num[now]++;
        }
    }
    dfs(0);
    return 0;
}