题解-Roman and Numbers

题解-Roman and Numbers

前置知识：

数位 \(\texttt{dp}\) </>

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\(\color{#9933cc}{\texttt{Roman and Numbers}}\)

给定 \(n\) 和 \(m\)，求将 \(n\) 的各位数字重新排列（不允许有前导 \(0\)），求可以构造几个能被 \(m\) 整除。

数据范围：\(1\le n\le 10^{18}\)，\(1\le m\le 100\)。

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用数位 \(\texttt{dp}\) 代码又短时间又优又好理解，为什么没人玩呢？

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把 \(n\) 的各位数字拿出来排序一下，然后把每个数有没有用过状压。

for(;n;n/=10) d.pb(n%10);
sort(d.begin(),d.end()),len=d.size();

选数字的时候只允许用相同数字中第一个没用过的。

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\(\texttt{Dfs}\) 中：

1. \(w\)：要找从右往左第几位。
2. \(st\)：当前数字使用状态。
3. \(sum\)：左 \(len-w\) 位数字形成的数 \(\bmod m\) 的余数。

il lng Dfs(re int w,re int st,re int sum){
	if(!w) return sum==0;//判断被 m 整除
	if(~f[st][sum]) return f[st][sum];
	re lng res=0;
	for(re int i=0;i<len;i++)
		if(!((1<<i)&st)&&(i==0||d[i]!=d[i-1]||((1<<(i-1))&st))) //*
			res+=Dfs(w-1,st|(1<<i),(sum*10+d[i])%m);
	return f[st][sum]=res; //记忆化，记录答案
}

其中 \(*\) 处的判断：

1. 该数字未用过。
2. 该数字前的相同数字都用过。

以保证使用顺序，防止重复统计。

关于 \(f\) 记忆化数组：

现在是 \(f_{st,sum}\)，本来应该是 \(f_{w,st,sum}\)。这里就讲讲 \(f_{w,st,sum}\) 记忆化的缺点：

1. \(1\le w\le 18\)，\(1\le st\le 2^{18}\)，\(1\le sum<m\le 100\)，必然 \(\color{#117}{\texttt{MLE}}\)。
2. \(st\) 中 \(1\) 的数量 \(cnt\) 必然满足 \(cnt=len-w\)，所以只记录 \(st\) 不会重合答案。

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时间复杂度 \(\Theta(2^{len}m)\)。

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Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

//&Start
#define re register
#define il inline
#define mk make_pair
#define pb push_back
#define db double
#define lng long long
#define fi first
#define se second
#define inf 0x3f3f3f3f

//&Data
const int W=18,M=100;
int m,len;
lng n,f[1<<W|7][M|7];
vector<int> d;

//&Digitdp
il void Pre(){memset(f,-1,sizeof f);}
il lng Dfs(re int w,re int st,re int sum){
	if(!w) return sum==0;
	if(~f[st][sum]) return f[st][sum];
	re lng res=0;
	for(re int i=0;i<len;i++)
		if(!((1<<i)&st)&&(i==0||d[i]!=d[i-1]||((1<<(i-1))&st)))
			res+=Dfs(w-1,st|(1<<i),(sum*10+d[i])%m);
	return f[st][sum]=res;
}
il lng DP(){
	for(;n;n/=10) d.pb(n%10);
	sort(d.begin(),d.end()),len=d.size();
	re lng res=0;
	for(re int i=0;i<len;i++)
		if(d[i]&&(i==0||d[i]!=d[i-1])) // 这里也要判断！这是最容易错的地方
			res+=Dfs(len-1,1<<i,d[i]%m);
	return res;
}

//&Main
int main(){
	scanf("%lld%d",&n,&m),Pre();
	printf("%lld\n",DP());
	return 0;
}

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祝大家学习愉快！