牛顿迭代法解非线性方程组（MATLAB版）

牛顿迭代法，又名切线法，这里不详细介绍，简单说明每一次牛顿迭代的运算：首先将各个方程式在一个根的估计值处线性化（泰勒展开式忽略高阶余项），然后求解线性化后的方程组，最后再更新根的估计值。下面以求解最简单的非线性二元方程组为例（平面二维定位最基本原理），贴出源代码：

1、新建函数fun.m，定义方程组

 function f=fun(x);
 %定义非线性方程组如下
 %变量x1 x2
 %函数f1 f2
 syms x1 x2
 f1 = sqrt((x1-4)^2 + x2^2)-sqrt(17);
 f2 = sqrt(x1^2 + (x2-4)^2)-5;
 f=[f1 f2];

2、新建dfun.m，求出一阶微分方程

 function df=dfun(x);
 f=fun(x);
 df=[diff(f,'x1');diff(f,'x2')]; %雅克比矩阵

3、建立newton.m，执行牛顿迭代过程

 clear;clc
 format;
 x0=[0 0];   % 迭代初始值
 eps = 0.00001;  % 定位精度要求
 for i = 1:10
     f = double(subs(fun(x0),{'x1' 'x2'},{x0(1) x0(2)}));
     df = double(subs(dfun(x0),{'x1' 'x2'},{x0(1) x0(2)}));  % 得到雅克比矩阵
     x = x0 - f/df;
     if(abs(x-x0) < eps)
         break;
     end
     x0 = x; % 更新迭代结果
 end
 disp('定位坐标：');
 x
 disp('迭代次数：');
 i

结果如下：

定位坐标：

x =

0.0000   -1.0000

迭代次数：

i =

4