线段树区间更新操作及Lazy思想(详解)

此题题意很好懂：
 
 给你N个数，Q个操作，操作有两种，‘Q a b ’是询问a~b这段数的和，‘C a b c’是把a~b这段数都加上c。

需要用到线段树的，update:成段增减，query:区间求和
 
介绍Lazy思想：lazy－tag思想，记录每一个线段树节点的变化值，当这部分线段的一致性被破坏我们就将这个变化值传递给子区间，大大增加了线段树的效率。
 
在此通俗的解释我理解的Lazy意思，比如现在需要对[a,b]区间值进行加c操作，那么就从根节点[1,n]开始调用update函数进行操作，如果刚好执行到一个子节点，它的节点标记为rt，这时tree[rt].l== a && tree[rt].r == b 这时我们可以一步更新此时rt节点的sum[rt]的值，sum[rt] += c* (tree[rt].r - tree[rt].l + 1)，注意关键的时刻来了，如果此时按照常规的线段树的update操作，这时候还应该更新rt子节点的sum[]值，而Lazy思想恰恰是暂时不更新rt子节点的sum[]值，到此就return，直到下次需要用到rt子节点的值的时候才去更新，这样避免许多可能无用的操作，从而节省时间。
 
下面通过具体的代码来说明之。
 
在此先介绍下代码中的函数说明：

#define lson l,m,rt<<1
#define rson m+1,r,rt<<1|1

宏定义左儿子lson和右儿子rson，貌似用宏的速度要慢。
 
PushUp(rt)：通过当前节点rt把值递归向上更新到根节点
 
PushDown(rt)：通过当前节点rt递归向下去更新rt子节点的值
 
rt表示当前子树的根(root),也就是当前所在的结点

 __int64 sum[N<<],add[N<<];
 struct Node
 {
     int l,r;
     int mid()
     {
         return (l+r)>>;
     }
 } tree[N<<];

这里定义数据结构sum用来存储每个节点的子节点数值的总和，add用来记录该节点的每个数值应该加多少

tree[].l tree[].r分别表示某个节点的左右区间，这里的区间是闭区间
 
下面直接来介绍update函数，Lazy操作主要就是用在这里

 void update(int c,int l,int r,int rt)//表示对区间[l,r]内的每个数均加c，rt是根节点
 {
     if(tree[rt].l == l && r == tree[rt].r)
     {
         add[rt] += c;
         sum[rt] += (__int64)c * (r-l+);
         return;
     }
     if(tree[rt].l == tree[rt].r) return;
     PushDown(rt,tree[rt].r - tree[rt].l + );
     int m = tree[rt].mid();
     if(r <= m) update(c,l,r,rt<<);
     else if(l > m) update(c,l,r,rt<<|);
     else
     {
         update(c,l,m,rt<<);
         update(c,m+,r,rt<<|);
     }
     PushUp(rt);
 }

if(tree[rt].l == l && r == tree[rt].r) 这里就是用到Lazy思想的关键时刻
正如上面说提到的，这里首先更新该节点的sum[rt]值，然后更新该节点具体每个数值应该加多少即add[rt]的值，注意此时整个函数就运行完了，直接return，而不是还继续向子节点继续更新，这里就是Lazy思想，暂时不更新子节点的值。
 
那么什么时候需要更新子节点的值呢？答案是在某部分update操作的时候需要用到那部分没有更新的节点的值的时候，这里可能有点绕口。这时就掉用PushDown()函数更新子节点的数值。

 void PushDown(int rt,int m)
 {
     if(add[rt])
     {
         add[rt<<] += add[rt];
         add[rt<<|] += add[rt];
         sum[rt<<] += add[rt] * (m - (m>>));
         sum[rt<<|] += add[rt] * (m>>);
         add[rt] = ;//更新后需要还原
     }
 }

PushDown就是从当前根节点rt向下更新每个子节点的值，这段代码读者可以自己好好理解，这也是Lazy的关键。

下面再解释query函数，也就是用这个函数来求区间和

 __int64 query(int l,int r,int rt)
 {
     if(l == tree[rt].l && r == tree[rt].r)
     {
         return sum[rt];
     }
     PushDown(rt,tree[rt].r - tree[rt].l + );
     int m = tree[rt].mid();
     __int64 res = ;
     if(r <= m) res += query(l,r,rt<<);
     else if(l > m) res += query(l,r,rt<<|);
     else
     {
        res += query(l,m,rt<<);
        res += query(m+,r,rt<<|);
     }
     return res;
 }

第一个if还是区间的判断和前面update的一样，到这里就可以知道答案了，所以就直接return。

接下来的查询就需要用到rt子节点的值了，由于我们用了Lazy操作，这段的数值还没有更新，因此我们需要调用PushDown函数去更新之，满足if(add[rt])就说明还没有更新。

到这里整个Lazy思想就算介绍结束了，可能我的语言组织不是很好，如果有不理解的地方可以给我留言，我再解释大家的疑惑。
 
PS：今天总算是对线段树入门了。

附上此题的代码：

 #include <iostream>
 #include <cstdio>
 using namespace std;
 const int N = ;
 #define lson l,m,rt<<1
 #define rson m+1,r,rt<<1|1

 __int64 sum[N<<],add[N<<];
 struct Node
 {
     int l,r;
     int mid()
     {
         return (l+r)>>;
     }
 } tree[N<<];

 void PushUp(int rt)
 {
     sum[rt] = sum[rt<<] + sum[rt<<|];
 }

 void PushDown(int rt,int m)
 {
     if(add[rt])
     {
         add[rt<<] += add[rt];
         add[rt<<|] += add[rt];
         sum[rt<<] += add[rt] * (m - (m>>));
         sum[rt<<|] += add[rt] * (m>>);
         add[rt] = ;
     }
 }

 void build(int l,int r,int rt)
 {
     tree[rt].l = l;
     tree[rt].r = r;
     add[rt] = ;
     if(l == r)
     {
         scanf("%I64d",&sum[rt]);
         return ;
     }
     int m = tree[rt].mid();
     build(lson);
     build(rson);
     PushUp(rt);
 }

 void update(int c,int l,int r,int rt)
 {
     if(tree[rt].l == l && r == tree[rt].r)
     {
         add[rt] += c;
         sum[rt] += (__int64)c * (r-l+);
         return;
     }
     if(tree[rt].l == tree[rt].r) return;
     PushDown(rt,tree[rt].r - tree[rt].l + );
     int m = tree[rt].mid();
     if(r <= m) update(c,l,r,rt<<);
     else if(l > m) update(c,l,r,rt<<|);
     else
     {
         update(c,l,m,rt<<);
         update(c,m+,r,rt<<|);
     }
     PushUp(rt);
 }

 __int64 query(int l,int r,int rt)
 {
     if(l == tree[rt].l && r == tree[rt].r)
     {
         return sum[rt];
     }
     PushDown(rt,tree[rt].r - tree[rt].l + );
     int m = tree[rt].mid();
     __int64 res = ;
     if(r <= m) res += query(l,r,rt<<);
     else if(l > m) res += query(l,r,rt<<|);
     else
     {
        res += query(l,m,rt<<);
        res += query(m+,r,rt<<|);
     }
     return res;
 }

 int main()
 {
     int n,m;
     while(~scanf("%d %d",&n,&m))
     {
         build(,n,);
         while(m--)
         {
             char ch[];
             scanf("%s",ch);
             int a,b,c;
             if(ch[] == 'Q')
             {
                 scanf("%d %d", &a,&b);
                 printf("%I64d\n",query(a,b,));
             }

             else
             {
                 scanf("%d %d %d",&a,&b,&c);
                 update(c,a,b,);
             }
         }
     }
     return ;
 }