PCoA主坐标分析

来源：http://blog.sina.com.cn/s/blog_670445240101nlss.html

1   背景介绍

这是一种排序方法。假设我们对N个样方有了衡量它们之间差异即距离的数据,就可以用此方法找出一个直角坐标系(最多N-1维),使N个样方表示成N个点,而使点间的欧氏距离的平方正好等于原来的差异数据。

由于样方间的差异数据可以由各种方式给出，只要对一些差异进行定量描述，如甲型，乙型，丙型等，就可以求出样方的数量坐标，实现定性到定量的转变。

主坐标方法简单、明确、效率很高。它与主分量分析一样,最后找出的坐标系不仅正交, 而且第一轴、第二轴……依次按N个点在该轴上的方差大小顺序排列,N个点对不同两个轴都不相关。所以也可用较少的维数,特别是直观的二、三维空间去排列样方,而使信息的损失最少。

它与主分量分析不同之处在于:不是先给出N个点的坐标,去找出刚性旋转的坐标;而是只知其间的距离要去重新建立各点的坐标。因此可以不限于度量(metrtic)的相似系数公式,Pernitec(1977)采用数量数据对于寒温带森林和草地进行主坐标分析,他认为非度量(non-mertic)相似系数比度量相似系数效果更佳。

2    PCoA计算步骤

1           构成差异矩阵M

2           构成离差距阵A

就求出A矩阵的元素。以后可知,它是最后求出的N个样方点坐标矩阵的离差矩阵。这里不必证明而列出A具有的三个性质:

1，  A是对称的,即aij~aji(i,j=1,2,……,N)

2，  A的行和及列和均等于0,即Ai.=A.i=0;

3，  mij2=mji2=aii+ajj-2aij( i,j=1,2,……,N).

3           求出N个样方的坐标矩阵C

因为A是NxN的对称实矩阵,所以必存在着酉矩阵(正交矩阵)U将A变换成对角矩B,即 UAU’=B,或A=U’BU。其中B的主对角线元素为λ1, λ2,……λN，分别 是A的N个依大小排 列的特征根,而U的每一行向量是相应的特征向量。

4           排列N个样方

根据C给出的N个样方的坐标值,可以在s维空间中排列样方,而不损失信息。 与主分量分析一 样 , 可以在较低K(< s)维空间中排列样方, 则保留的信息百分比为 :

3    参考资料：

1           PCoA作图：http://blog.sina.com.cn/s/blog_670445240102uw6u.html

2　　　　http://qzongy007.blog.sohu.com/261236424.html