[洛谷P4720] [模板] 扩展卢卡斯

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求组合数的时候，如果模数p是质数，可以用卢卡斯定理解决。

但是卢卡斯定理仅仅适用于p是质数的情况。

当p不是质数的时候，我们就需要用扩展卢卡斯求解。

实际上，扩展卢卡斯=快速幂+快速乘+exgcd求逆元+质因数分解+crt合并答案+求阶乘，跟卢卡斯定理没什么关系......

如果把模数p分解成p1^k1*p2^k2*...*px^kx的形式，那么我们可以求出c(n,m)分别模每个pi^ki的结果，再用中国剩余定理合并即可。

每个pi^ki一定是互质的，所以用朴素crt就行。

根据组合数的定义，c(n,m)=(n!) / (m!*(n-m)!) ，所以我们只要能想办法求出阶乘，就能再利用exgcd求出逆元，进而求出组合数。

接下来唯一的问题就是怎么快速求出 x! 取模 pi^ki 的结果。

考虑如下的经典样例（据说来自popoqqq）：(19!)%(3^2)

19!=1*2*3*4*5*6*7*8*9*10*11*12*13*14*15*16*17*18*19

先把其中的3的倍数提出来，因为求组合数的时候分子分母能约掉。

19!=(1*2*4*5*7*8)*(10*11*13*14*16*17)*(19)*(3*6*9*12*15*18)=(1*2*4*5*7*8)*(1*2*4*5*7*8)*(3*3*3*3*3*3)*(1*2*3*4*5*6)=(1*2*4*5*7*8)^2*19*(3^6)*(1*2*3*4*5*6)。

后面的6!部分可以递归求解，递归终点为0!=1。

3^6最后计算组合数的时候再处理。

那几个(1*2*4*5*7*8)显然是循环的，循环节长度小于pi^ki，可以暴力计算。

显然一共有(x/(pi^ki))个循环节，套个快速幂即可。

剩下的部分，即19，长度等于x%(pi^ki)，也小于pi^ki，也可以暴力计算。

至此我们求出了阶乘。

求组合数的时候，考虑pi的倍数的影响。

分子分母分别计数相加减。

最后用crt合并即可。

 #include<cstdio>
 typedef long long ll;

 ll n,m,p;

 ll ksm(ll b,ll tp,ll mod)
 {
     ll ret=;
     while(tp)
     {
         if(tp&)ret=ret*b%mod;
         b=b*b%mod;
         tp>>=;
     }
     return ret;
 }

 ll mul(ll a,ll b,ll mod)
 {
     ll ret=;
     while(b)
     {
         if(b&)ret=(ret+a)%mod;
         a=(a+a)%mod;
         b>>=;
     }
     return ret;
 }

 ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
 {
     if(!b)
     {
         x=;y=;
         return a;
     }
     ll t=exgcd(b,a%b,y,x);
     y-=a/b*x;
 }

 ll inv(ll x,ll mod)
 {
     ll a,b;
     exgcd(x,mod,a,b);
     return (a%mod+mod)%mod;
 }

 ll fac(ll x,ll pi,ll pk)
 {
     if(!x)return ;
     ll ans=;
     for(ll i=;i<=pk;i++)
         if(i%pi)ans=ans*i%pk;
     ans=ksm(ans,x/pk,pk);
     for(ll i=;i<=x%pk;i++)
         if(i%pi)ans=ans*i%pk;
     return ans*fac(x/pi,pi,pk)%pk;
 }

 ll c(ll cn,ll cm,ll pi,ll pk)
 {
     if(cm>cn)return ;
     ll up=fac(cn,pi,pk),d1=fac(cm,pi,pk),d2=fac(cn-cm,pi,pk);
     ll cnt=;
     for(ll i=cn;i;i/=pi)cnt+=i/pi;
     for(ll i=cm;i;i/=pi)cnt-=i/pi;
     for(ll i=cn-cm;i;i/=pi)cnt-=i/pi;
     return up*inv(d1,pk)%pk*inv(d2,pk)%pk*ksm(pi,cnt,pk)%pk;
 }

 ll crt(ll a,ll pk)
 {
     return a*inv(p/pk,pk)%p*(p/pk)%p;
 }

 int main()
 {
     scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&p);
     ll tp=p,ans=;
     for(ll i=;i*i<=p;i++)
     {
         if(tp%i)continue;
         ll pk=;
         while(!(tp%i))tp/=i,pk*=i;
         ans=(ans+crt(c(n,m,i,pk),pk))%p;
     }
     if(tp>)ans=(ans+crt(c(n,m,tp,tp),tp))%p;
     printf("%lld",(ans%p+p)%p);
     return ;
 }