NewQuant的设计（二）——MatrixComputation的领域分析

NewQuant的设计——MatrixComputation的领域分析

　　MatrixComputation是NewQuant中最重要也是最大的一个模块，这个模块的领域分析要从回答几个问题开始。

一、矩阵的用途？

1.矩阵可以作为一个二维表充当容器；

2.矩阵用来表征一个线性方程组或LS问题；

3.矩阵作为特定模型的参数，例如多元正态分布的协方差矩阵

二、关于矩阵的计算有哪些？

1.基本运算例如相加、相减、相乘和转置，多元统计中的拉直，不同矩阵的拼接等等

2.高级矩阵分解运算，例如LU分解、QR分解和SVD分解(通常矩阵分解为解方程服务)

3.高级运算，例如求逆、求秩等。

　　翻开《Matrix Computation》这本书(MatrixComputation模块的主要参考文献)，研究过里面的算法之后可以发现，绝大部分解方程的算法(非迭代算法)需要做矩阵分解，将一个一般化的矩阵分解成若干特殊化的矩阵的乘积，然后依次解决相应的方程。

三、特殊的矩阵有哪些？

上下三角阵、上下带状阵、对称阵、对称带状阵、正交阵、置换阵、对角阵等等。

　　下面再来看第一个问题，作为容器的矩阵行为和功能相对简单，如果要表征线性方程组的话，就必须考虑矩阵分解的问题。矩阵分解是将一般化的矩阵分解成一系列特殊矩阵的乘积。如此一来关于解方程的领域分析清晰了，解方程先做矩阵分解，不同的矩阵分解的方法产生不同形状的特殊矩阵，特殊矩阵对应的方程有特殊的解法。

　　在来看第二个问题，高级计算的领域分析被前面的论述解决了，留下了基本计算的领域分析问题。从理论上讲，一个矩阵的转置或两个矩阵相加将产生一个新的矩阵，但是如果从数值计算效率的角度看，产生的新矩阵是一个“临时对象”，对于矩阵这种数据密集型对象来讲，临时对象的产生会严重影响性能。为了避年产生临时对象，基本计算只能是“形式上的”，例如矩阵相加产生一个轻量级的对象，该对象是矩阵，但是只是形式上表示两个矩阵相加。这也就是“延迟赋值”的技巧。

　　下面总结MatrixComputation的领域分析结论，除了一般矩阵之外还要实现若干特殊矩阵，这些矩阵都有容器的功能，存储着矩阵数据。每一种特殊矩阵都有着自己的特殊解法，一般矩阵在做矩阵分解之后将解方程的工作委托给特殊矩阵。为了避免临时对象的产生，矩阵的基本运算只是形式上的，并不产生一个新矩阵作为计算结果。