如何用Python实现常见机器学习算法-2
二、逻辑回归
1、代价函数
可以将上式综合起来为:
其中:
为什么不用线性回归的代价函数表示呢?因为线性回归的代价函数可能是非凸的,对于分类问题,使用梯度下降很难得到最小值,上面的代价函数是凸函数的图像如下,即y=1时:
可以看出,当趋于1,y=1,与预测值一致,此时付出的代价cost趋于0,若
趋于0,y=1,此时的代价cost值非常大,我们最终的目的是最小化代价值,同理
的图像如下(y=0):
2、梯度
同样对代价函数求偏导:
可以看出与线性回归的偏导数一致。
推导过程:
3、正则化
正则化的目的为了防止过拟合。在代价函数中加上一项
注意j是从1开始的,因为theta(0)为一个常数项,X中最前面一列会加上一列1,所以乘积还是theta(0),与feature没有关系,没有必要正则化。
正则化后的代价:
# 代价函数
def costFunction(initial_theta,X,y,inital_lambda):
m = len(y)
J = 0 h = sigmoid(np.dot(X,initial_theta)) # 计算h(z)
theta1 = initial_theta.copy() # 因为正则化j=1从1开始,不包含0,所以复制一份,前theta(0)值为0
theta1[0] = 0 temp = np.dot(np.transpose(theta1),theta1)
J = (-np.dot(np.transpose(y),np.log(h))-np.dot(np.transpose(1-y),np.log(1-h))+temp*inital_lambda/2)/m # 正则化的代价方程
return J
正则化后的代价的梯度
# 计算梯度
def gradient(initial_theta,X,y,inital_lambda):
m = len(y)
grad = np.zeros((initial_theta.shape[0])) h = sigmoid(np.dot(X,initial_theta))# 计算h(z)
theta1 = initial_theta.copy()
theta1[0] = 0 grad = np.dot(np.transpose(X),h-y)/m+inital_lambda/m*theta1 #正则化的梯度
return grad
4、S型函数(即)
代码实现
# S型函数
def sigmoid(z):
h = np.zeros((len(z),1)) # 初始化,与z的长度一置 h = 1.0/(1.0+np.exp(-z))
return h
5、映射为多项式
因为数据的feature可能很少,导致偏差大,所以创造出一些组合feature
eg:映射为2次方的形式为:
代码实现:
# 映射为多项式
def mapFeature(X1,X2):
degree = 3; # 映射的最高次方
out = np.ones((X1.shape[0],1)) # 映射后的结果数组(取代X)
'''
这里以degree=2为例,映射为1,x1,x2,x1^2,x1,x2,x2^2
'''
for i in np.arange(1,degree+1):
for j in range(i+1):
temp = X1**(i-j)*(X2**j) #矩阵直接乘相当于matlab中的点乘.*
out = np.hstack((out, temp.reshape(-1,1)))
return out
6、使用scipy的优化方法
梯度下降使用scipy中optimize中的fmin_bfgs函数
调用scipy中的优化算法fmin_bfgs(拟牛顿法Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno costFunction是自己实现的一个求代价的函数),
initial_theta表示初始化的值,
fprime指定costFunction的梯度
args是其余参数,以元组的形式传入,最后会将最小化costFunction的theta返回
result = optimize.fmin_bfgs(costFunction, initial_theta, fprime=gradient, args=(X,y,initial_lambda))
7、运行结果
data1决策边界和准确度
data2决策边界和准确度
8、使用scikit-learn库中的逻辑回归模型实现
from sklearn.linear_model import LogisticRegression
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
from sklearn.cross_validation import train_test_split
import numpy as np def logisticRegression():
data = loadtxtAndcsv_data("data1.txt", ",", np.float64)
X = data[:,0:-1]
y = data[:,-1] # 划分为训练集和测试集
x_train,x_test,y_train,y_test = train_test_split(X,y,test_size=0.2) # 归一化
scaler = StandardScaler()
scaler.fit(x_train)
x_train = scaler.fit_transform(x_train)
x_test = scaler.fit_transform(x_test) #逻辑回归
model = LogisticRegression()
model.fit(x_train,y_train) # 预测
predict = model.predict(x_test)
right = sum(predict == y_test) predict = np.hstack((predict.reshape(-1,1),y_test.reshape(-1,1))) # 将预测值和真实值放在一块,好观察
print predict
print ('测试集准确率:%f%%'%(right*100.0/predict.shape[0])) #计算在测试集上的准确度 # 加载txt和csv文件
def loadtxtAndcsv_data(fileName,split,dataType):
return np.loadtxt(fileName,delimiter=split,dtype=dataType) # 加载npy文件
def loadnpy_data(fileName):
return np.load(fileName) if __name__ == "__main__":
logisticRegression()
逻辑回归_手写数字识别_OneVsAll
1、随机显示100个数字
我们没有使用scikit-learn中的数据集,像素是20*20px,彩色图如下:
灰度图为:
代码实现:
# 显示100个数字
def display_data(imgData):
sum = 0
'''
显示100个数(若是一个一个绘制将会非常慢,可以将要画的数字整理好,放到一个矩阵中,显示这个矩阵即可)
- 初始化一个二维数组
- 将每行的数据调整成图像的矩阵,放进二维数组
- 显示即可
'''
pad = 1
display_array = -np.ones((pad+10*(20+pad),pad+10*(20+pad)))
for i in range(10):
for j in range(10):
display_array[pad+i*(20+pad):pad+i*(20+pad)+20,pad+j*(20+pad):pad+j*(20+pad)+20] = (imgData[sum,:].reshape(20,20,order="F")) # order=F指定以列优先,在matlab中是这样的,python中需要指定,默认以行
sum += 1 plt.imshow(display_array,cmap='gray') #显示灰度图像
plt.axis('off')
plt.show()
2、OneVsAll
如何利用逻辑回归解决多分类的问题,OneVsAll就是把当前某一类看成一类,其他所有类别看作一类,这样就成了二分类问题。如下图,把途中的数据分成三类,先把红色的看成一类,把其他的看作另一类,进行逻辑回归,然后把蓝色的看成一类,其他的看成另一类,以此类推。。。
可以看出大于2类的情况下,有多少类就要进行多少次的逻辑回归分类
3、手写数字识别
共有0-9,10个数字,需要10次分类
由于数据集y给出的是0,1,2,。。。9的数字,而进行逻辑回归需要0/1的label标记,所以需要对y处理。
说一下数据集,前500个是0,500-1000是1,...,所以如下图,处理后的y,前500行的第一列是1,其余都是0,500-1000行第二列是1,其余都是0。。。
然后调用梯度下降算法求解theta
代码实现:
# 求每个分类的theta,最后返回所有的all_theta
def oneVsAll(X,y,num_labels,Lambda):
# 初始化变量
m,n = X.shape
all_theta = np.zeros((n+1,num_labels)) # 每一列对应相应分类的theta,共10列
X = np.hstack((np.ones((m,1)),X)) # X前补上一列1的偏置bias
class_y = np.zeros((m,num_labels)) # 数据的y对应0-9,需要映射为0/1的关系
initial_theta = np.zeros((n+1,1)) # 初始化一个分类的theta # 映射y
for i in range(num_labels):
class_y[:,i] = np.int32(y==i).reshape(1,-1) # 注意reshape(1,-1)才可以赋值 #np.savetxt("class_y.csv", class_y[0:600,:], delimiter=',') '''遍历每个分类,计算对应的theta值'''
for i in range(num_labels):
result = optimize.fmin_bfgs(costFunction, initial_theta, fprime=gradient, args=(X,class_y[:,i],Lambda)) # 调用梯度下降的优化方法
all_theta[:,i] = result.reshape(1,-1) # 放入all_theta中 all_theta = np.transpose(all_theta)
return all_theta
4、预测
之前说过,预测的结果是一个概率值,利用学习出来的theta代入预测的S型函数中,每行的最大值就是某个数字的最大概率,所在的列号就是预测的数字的真实值,因为在分类时,所有为0的将y映射在第一列,为1的映射在第二列,以此类推
代码实现:
# 预测
def predict_oneVsAll(all_theta,X):
m = X.shape[0]
num_labels = all_theta.shape[0]
p = np.zeros((m,1))
X = np.hstack((np.ones((m,1)),X)) #在X最前面加一列1 h = sigmoid(np.dot(X,np.transpose(all_theta))) #预测 '''
返回h中每一行最大值所在的列号
- np.max(h, axis=1)返回h中每一行的最大值(是某个数字的最大概率)
- 最后where找到的最大概率所在的列号(列号即是对应的数字)
'''
p = np.array(np.where(h[0,:] == np.max(h, axis=1)[0]))
for i in np.arange(1, m):
t = np.array(np.where(h[i,:] == np.max(h, axis=1)[i]))
p = np.vstack((p,t))
return p
5、运行结果
10次分类,在训练集上的准确度:
6、使用scikit-learn库中的逻辑回归模型实现
#-*- coding: utf-8 -*-
from scipy import io as spio
import numpy as np
from sklearn import svm
from sklearn.linear_model import LogisticRegression def logisticRegression_oneVsAll():
data = loadmat_data("data_digits.mat")
X = data['X'] # 获取X数据,每一行对应一个数字20x20px
y = data['y'] # 这里读取mat文件y的shape=(5000, 1)
y = np.ravel(y) # 调用sklearn需要转化成一维的(5000,) model = LogisticRegression()
model.fit(X, y) # 拟合 predict = model.predict(X) #预测 print u"预测准确度为:%f%%"%np.mean(np.float64(predict == y)*100) # 加载mat文件
def loadmat_data(fileName):
return spio.loadmat(fileName) if __name__ == "__main__":
logisticRegression_oneVsAll()
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