题目背景

COCI

题目描述

有N个数排成一行(数值代表高度),最初所有的数都为零,你可以选择连续的一段等高的数,将它们都增加1(除了开头和结尾那个数)如下图表示了两次操作:

现在有一些数字看不清了,我们用-1表示,请你根据留下的数字,推出有多少 种可能的方案。使得留下的数字正好满足上面的操作方法。

输入输出格式

输入格式:

第一行一个正整数N表示数的个数。
接下来一行N个数,依次表示每一个数的大小,-1表示看不清楚,你可以用任
意满足条件的数代替。第i个数用hi​表示

输出格式:

一个数,表示所有可能的方案对1000000007求余的值。

输入输出样例

输入样例#1:

3
-1 2 -1
输出样例#1:

0
输入样例#2:

3
-1 -1 -1
输出样例#2:

2
输入样例#3:

6
-1 -1 -1 2 -1 -1
输出样例#3:

3

说明

  • (1≤N≤10000)
  • (−1≤hi≤10000)

Solution:

  本题DP(为啥本题是黑题?也许评黑题考得是思维吧~!)。

  首先由题意不难确定一些性质:

    1、合法情况首尾一定为0

    2、最高高度小于$n/2$

    3、由2可以确定的是第$i$位高度:当$i\leq n/2$,$h_i$最高为$i-1$; 当$i>n/2$,$h_i$最高为$n-i$

    4、由于每次选择的是一段长度大于2的相等且连续的序列,而操作使$(l,r)+1$,所以相邻两位之差$\in[-1,1]$

  然后就好做了。

  考虑普通dp,定义状态$f[i][j]$表示第$i$位高度为$j$的方案数,那么由性质1确定初状态$f[1][0]=1$,目标状态为$f[n][0]$。

  由性质4的邻位高度差绝对值$\leq 1$,不难得到状态转移方程:$f[i][j]=f[i-1][j-1]+f[i-1][j]+f[i-1][j+1]$

  转移时对于高度确定的就单次转移,否则就枚举可行高度并转移。

  这样定义状态会炸空间,但是每次转移只与前一个数的状态有关,所以直接滚掉就好了。

代码:

/*Code by 520 -- 9.4*/
#include<bits/stdc++.h>
#define il inline
#define ll long long
#define RE register
#define For(i,a,b) for(RE int (i)=(a);(i)<=(b);(i)++)
#define Bor(i,a,b) for(RE int (i)=(b);(i)>=(a);(i)--)
using namespace std;
const int mod=1e9+;
int n,a[],f[][],cnt,siz; int main(){
scanf("%d",&n);
For(i,,n) scanf("%d",&a[i]);
if(a[]>||a[n]>) cout<<,exit();
a[]=a[n]=,f[][]=,siz=;
while(siz<=n){
int up=siz;
if(siz>n/) up=n-siz+;
For(i,,up-) if(a[siz]==-||i==a[siz])
f[cnt][i]=((ll)(i?f[!cnt][i-]:)+f[!cnt][i]+f[!cnt][i+])%mod;
cnt^=,++siz;
memset(f[cnt],,sizeof(f[cnt]));
}
cout<<f[!cnt][];
return ;
}

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